Transformada de laplace

Análise Dinâmica de Sistemas Amostrados

Resposta ao Degrau Unitário

Assumindo que o denominador tenha n raízes distintas, por expansão em frações parciais:

Se pi < 1, i=1, 2, ..., n k  todos os termos, exceto R0 desparecem, e y()= R0 .
Se alguma raiz não satisfizer esta condição y()=.

Resposta a uma Seqüência Arbitrária

Para o impulso, u(z)=1 e .
Por expansão em frações parciais (e definindo ): são os polos da função de transferência.
Sendo
tem-se:

Efeito de Tempo Morto
Tempo morto de D períodos de amostragem. Para primeira ordem com tempo morto:

onde é obtido a partir de g(z) sem atraso.

A presença de tempo morto será sempre anunciada pelo comum a todos os termos do numerador.

Forma Backward Shift como a transformada inversa de fornece f(k-1), z-1 funciona como um operador “backward shift”.

Características Fundamentais da FT

Ganho de estado estacionário:

.

Polos:

n raízes de A(z-1)=0. Um tempo morto de D contribui com D poloos adicionais.

Zeros:

m raízes de B(z-1)=0

Exemplos

1)

K=b/(1-a)

N=1, m=0 e D=0 n(não tem tempo morto)
Tem um polo em z=a .

2)

Reconhecendo TM pela presença de z-1 no numerador: D=1.
N=1, m=0
K=b/(1-a).

Relação s  z:

Polos dentro do círculo unitário são estáveis.

Parâmetros de um sistema de 2a ordem no plano z:

No MATLAB, a conversão de contínuo para digital é feita pela função:

[numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,'zoh')
[F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

Exemplo:

Suponha a seguinte função de transferência • M = 1 kg
• b = 10 N.s/m
• k = 20 N/m
• F(s) = 1
Adotando Ts=1/100s, criamos o m-file:
M=1;
b=10; k=20; num=[1]; den=[M b k];
Ts=1/100;
[numDz,denDz]=c2dm(num,den,Ts,'zoh')

Rodando este arquivo no janela de comando fornece:

numDz = 1.0e-04 * 0 0.4837 0.4678 denDz =