teste binomial

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante

Função de probabilidade

Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:

f(k;n,p)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\,

para k=0,1,2,\dots,n e onde {n\choose k} é uma combinação.

Através do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:

f(k;n,p) = \frac{p}{1-p} \frac{n-k+1}{k} f(k-1;n,p)

Exemplo:

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

f(2;3,\frac{1}{6})={3\choose 2}\times\left(\frac{1}{6}\right)^2\times\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-2}\,

=\frac{3!}{2!\cdot\left(3-2\right)!}\,\!\times\frac{1}{36}\times(\frac{5}{6})^{1}\,

=\frac{3\times2!}{2!\cdot\left(1\right)!}\,\!\times\frac{1}{36}\times\frac{5}{6}\,

=\frac{3}{1}\times\frac{1}{36}\times\frac{5}{6}=\frac{15}{216}=\frac{5}{72}\,

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

f(3;3,\frac{1}{6})={3\choose 3}\times\frac{1}{6}^3\times(1-\frac{1}{6})^{3-3}\,

=\frac{3!}{3!\cdot\left(3-3\right)!}\,\!\times\frac{1}{216}\times(\frac{5}{6})^{0}\,

=\frac{3!}{3!}\times\frac{1}{216}\times1\,

=1\times\frac{1}{216}\times1=\frac{1}{216}\,

Assim, a resposta é: