Teorema limites

TEOREMA SOBRE LIMITES
Teorema da unicidade do limite: Suponha que a função f está definida no intervalo aberto
(a, b) , exceto talvez no ponto c ∈ (a, b) . Se lim f ( x) = M e lim f ( x) = N então M = N . x →c

x →c

O teorema nos informa que se um limite apresentar mais de um valor para, então ele não existe.
PROPRIEDADES BÁSICAS
PL1) lim x = c

PL2) lim k = k , sendo k uma constante;

x →c

x →c

TEOREMA: PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES
Suponha que as funções f e g estão definidas no intervalo aberto (a, b) , exceto talvez no ponto

c ∈ (a, b) . Suponha ainda que lim f ( x) = A e lim g ( x) = B . Então: x →c

x →c

PL3) lim ( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) + lim g ( x) = A ± B ; x →c

x →c

x →c

PL4) lim ( k ⋅ f ( x) ) = k ⋅ lim f ( x) = kA ; sendo ∀k ∈ ℝ . x →c

x →c

PL5) lim ( f ( x).g ( x) ) = lim f ( x).lim g ( x) = A.B ; x →c

x→c

x →c

 f ( x)  lim f ( x) A x →c
= , se B ≠ 0 ;
=
 g ( x)  lim g ( x) B

PL6) lim  x →c

x →c

(

PL7) lim ( f ( x) ) = lim f ( x) n x →c

x →c

)

n

= An , n ∈ ℕ . Em particular, lim x n = c n , n ∈ ℕ ; x →c

PL8) lim n f ( x) = n lim f ( x) = x →c

n

x→c

A , se n ∈ ℕ , sendo A > 0 se n é

par. Em particular,

lim n x == n c , se n ∈ ℕ , sendo c > 0 se n é par. x →c

As propriedades acima são válidas para limites laterais e limites no infinito.
PROPRIEDADES DE LIMITES INFINITOS E DE LIMITES NO INFINITO

1 = +∞, n ∈ ℕ . xn 
1  +∞ se n é par , n ∈ ℕ . ii) lim n = 

x→ 0 − x
−∞ se n é ímpar



PLI1. i) lim
+
x→ 0

PLI2. i) Se lim f ( x) = +∞ e lim g ( x) = k , k ∈ ℝ , então lim ( f ( x) ± g ( x) ) = +∞ . x →c

x →c

x →c

ii) Se lim f ( x) = −∞ e lim g ( x) = k , k ∈ ℝ , então lim ( f ( x) ± g ( x) ) = −∞ x →c

x →c

x →c

+∞ x →c x →c x →c
−∞
−∞ se ii) Se lim f ( x) = −∞ e lim g ( x) = k , k ∈ ℝ − {0} , então lim ( f ( x) ⋅ g ( x) ) =  x →c x →c x →c
+∞ se

PLI3. i) Se lim f (