teoria do Confronto

TEOREMA DO CONFRONTO
LIMITE FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

CERES-GO
SETEMBRO/ 2014
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA

TEOREMA DO CONFRONTO
LIMITE FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Trabalho de Limite Fundamental do cálculo e Teorema do confronto

INTRODUÇÃO
No seguinte trabalho estabeleceremos conceitos e aplicações sobre o teorema do confronto e limite fundamental do cálculo. O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse essa função se encontre limitada (inferior e superiormente) por duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite. Sejam f, g, h três funções e suponhamos que exista r > 0 tal que:
F(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
Para 0< │x-p│ < r. Nestas condições, se

Então

O limite fundamental . Limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito.

Teorema do Confronto
Sejam f, g e h três funções tais que , para todo . Se , então existe e é também igual a L.
Antes de fazer a demonstração do Teorema, vamos visualizar aquilo que o teorema significa.

Na figura observamos que os gráficos - nas cores: verde e laranja - possuem um ponto em comum, que é a origem. A questão a ser analisada é a seguinte: se existir uma função que passe entre os gráficos das duas funções acima, qual seria o seu valor no ponto x=0?
É fácil perceber que essa nova função estará "espremida" entre as duas funções inicialmente dadas, em particular para x=0, devido à condição de seu gráfico estar entre os gráficos dados, resultando que o único valor possível para ela nesse ponto é y=0.
Assim,