Taxas Relacionadas

Derivada de fun¸oes impl´ c˜ ıcitas
A maioria das fun¸oes que trabalhamos at´ o momento foi da forma y = f (x), em que y ´ c˜ e e expressa diretamente, ou explicitamente, em termos de x. Por´m, ocorre com frequˆncia que e e y ´ definida como uma fun¸˜o de x por meio de uma equa¸ao que n˜o est´ resolvida para y, e ca c˜ a a como por exemplo, a equa¸ao xy = 1. Nesse caso, dizemos que y ´ definida implicitamente em c˜ e termos de x.
A equa¸ao x2 + y 2 = 25 determina duas fun¸oes impl´ c˜ c˜ ıcitas de x, que podem ser escritas explicitamente como:
√
y = ± 25 − x2
.
Como derivar y em rela¸ao a x? c˜ Iniciamos o processo derivando a equa¸˜o dada em rela¸ao a x, usando a regra da cadeia e ca c˜ pensando em y como uma fun¸ao de x sempre que aparecer. Assim, por exemplo, y 3 ´ tratado c˜ e como o cubo de uma fun¸˜o de x e sua derivada ´ ca e dy d y 3 = 3y 2 dx dx e x3 y 4 ´ visto como o produto de duas fun¸oes de x e sua derivada ´: e c˜ e d dy x3 y 4 = 3x2 y 4 + 4y 3 . dx dx

Taxas relacionadas
Objetivo: Encontrar a taxa segundo a qual certa quantidade est´ variando em rela¸˜o a outras a ca quantidades, cujas taxas de varia¸˜o s˜o conhecidas. ca a
Quando duas vari´veis estiverem relacionadas entre si, ent˜o suas taxas de varia¸ao tamb´m a a c˜ e o estar˜o. a Estrat´gia para resolver problemas de taxas relacionadas: e • Desenhe uma figura e classifique as quantidades que variam;
• Identifique as taxas de varia¸ao que s˜o conhecidas e a taxa de varia¸˜o que ´ para ser c˜ a ca e encontrada; • Ache uma equa¸ao que relacione a quantidade, cuja taxa de varia¸ao ´ para ser encontrada c˜ c˜ e com as quantidades cujas taxas de varia¸ao s˜o conhecidas; c˜ a
• Diferencie ambos os lados desta equa¸˜o em rela¸ao ao tempo e resolva a derivada que ca c˜ dar´ a taxa de varia¸ao desconhecida; a c˜
• Calcule esta derivada em um ponto apropriado.

Exemplo 1: Um ´leo derramado atrav´s da ruptura de um tanque