Taxas relacionadas

26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas

1

Taxas Relacionadas
Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taxas relacionadas.
Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas.
1 – Faça uma figura, se isso for possível;
2 – Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem de t.
3 – Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t.
4 – Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t.
5 – Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4.
6 – Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada.
Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real.
Exemplos:
1) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé esta a 15 unidades de comprimento da parede?
Resolução:
- Definição das variáveis: t → tempo decorrido desde que a escala começou a deslizar pela parede em segundos. y → distância do chão ao topo da escada. x → distância do pé da escada ate a parede.
- Figura (desenho esquemático)

5
25

y

x

- Fatos numéricos conhecidos: dx =3 dt dy
=?
dt

quando x = 15

- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t:
Pelo teorema de Pitágoras temos: y 2 + x 2 = 25 2 y 2 = 625 − x 2

26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas

2

- Derivando em relação a t: y 2 = 625 − x 2 dy dx
= 0 − 2x dt dt dy 2 x dx
=−
dt
2 y dt

2y

dy x dx
=−
dt y dt

- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na equação: