taxa de variação

Índice

1 Introdução

Este trabalho foi-me proposto pelo professor Fernando Proença com o propósito de recuperar o módulo A6 a matemática.
Com este trabalho espero demonstrar uma melhor compreensão acerca da matéria e atingir a meta de ser aprovado a este módulo.
Taxa de variação
1 História
História
Um dos mais importantes conceitos da matemática foi realizado por Fermat e Newton, com o objetivo de resolverem dois problemas.
Fermat perguntou:
“Como determinar o declive de uma reta tangente a uma curva?”
A reta a tem dois pontos comuns com a curva e é tangente à mesma.
A reta c tem com a curva um só ponto comum e não lhe é tangente.
Como definir então a tangente a uma curva?
O Problema resume-se em determinar o declive de uma reta a uma curva num dos seus pontos. Para isso, Fermat considerou um ponto P de uma curva e uma secante PQ.
Concluiu que o declive da reta tangente à curva podia ser calculado como o limite do declive da secante PQ quando o ponto Q percorrendo a curva, se aproxima de P.
Por outro lado, Newton pretendia determinar a velocidade instantânea. Por exemplo, determinar a velocidade dada pelo velocímetro de um automóvel em movimento, conhecendo apenas a relação entre o espaço e o tempo.
Para determinar a velocidade instantânea no momento a , Newton considerou um intervalo de tempo em que a era um extremo:

Calculou a velocidade média nesse intervalo. Reduzindo sucessivamente , calculou de novo a velocidade média para cada um dos intervalos. Concluiu então que podia calcular a velocidade instantânea em a através do limite da velocidade média do intervalo , quando tende para 0.
Nas situações apresentadas aparece a referência a um limite: o declive da reta tangente a uma curva é um limite; a velocidade instantânea é um limite. Hoje, a estes limites chamamos derivadas.
2 Taxa média de variação de uma função
Sabemos que as grandezas variam. Todos os dias pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo,