Séries de Fourier

Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas - CFM
Departamento de Matemática

Séries de Fourier

Professor: Márcio Rodolfo Fernandes
Álgebra Linear – MTM5245
Turma - 2212

Florianópolis
Junho de 2011

1.

INTRODUÇÃO

Jean B. Fourier (1768-1830) foi pioneiro na investigação destes problemas. No livro “Théorie Analytique de la Chaleur”, escrito em1822, ele introduziu o conceito conhecido atualmente como Série de Fourier, que é muito utilizado nas ciências em geral, principalmente nas áreas envolvidas com: Matemática, Engenharia, Computação,
Música, Ondulatória, Sinais Digitais, Processamento de Imagens, etc.

2.

FUNÇÕES PERIÓDICAS

2.1 CONCEITOS GERAIS SOBRE FUNÇÕES PERIÓDICAS

Uma função f: R → R é periódica, se existe um número p ∈ R tal que para todo x ∈ R: f(x + p) = f(x)
O número p é um dos períodos de f. Às vezes existem vários números com esta propriedade, mas o menor número real positivo com esta característica é chamado período fundamental de f, que é simplesmente denominado período.
Se uma função f tem período p, diz-se que f é p-periódica e denotamos este fato por f(x) = f(x + p).
Muitas vezes, é vantajoso tomar o período p = 2L e a função definida no intervalo real simétrico [−L, L], com o objetivo de simplificar as operações.
Alguns exemplos: As funções f(x) = sin(x), g(x) = cos(x), h(x) = sin(nx), k(x) = cos(mx) e p(x) = Acos(mx) + B sin(nx) são periódicas.

2.2 POLINÔMIO TRIGONOMÉTRICO
Um polinômio trigonométrico pn = pn(x) de ordem n é uma função 2π-periódica da forma:

2.3 SÉRIE TRIGONOMÉTRICA

Uma série trigonométrica é uma representação f = f(x) em série de funções trigonométricas da forma:

3.

SÉRIES DE FOURIER E COEFICIENTES DE FOURIER

Seja f(x) = f(x + 2π) uma função integrável sobre sobre o intervalo[−π, π] e n ∈
N. A série de Fourier de f é a série trigonométrica:

Onde a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f definidos por:

O