Sistemas não lineares

UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto Politécnico do Rio de Janeiro
Programa de Pós-graduação em Modelagem Computacional
Disciplina: Métodos Numéricos
Professor: Antônio José Silva Neto
Aluno: Marques Fredman Mescolin

Tarefa Computacional 1

1. Breve Introdução

Neste trabalho, a proposta consiste em obter a solução do sistema de equações não lineares 
 F1 (x, y) = x4 + y 4



 F2 (x, y) = 100(y − x2 )2 + (1 − x)2
4

 F3 (x, y) = 4 − 2, 1x2 + x x2 + xy + (4y 2 − 4)y 2

3



F4 (x, y) = G(x, y) × H(x, y);

onde

(1)

G(x, y) = 1 + (x + y + 1)2 (19 − 14x + 3x2 − 14y + 6xy + 3y 2 )
,
H(x, y) = 30 + (2x − 3y)2 (18 − 32x + 12x2 + 48y − 36xy + 27y 2 )

por meio do método de Newton multivariável, determinando também os mínimos globais destas funções. Para tanto, serão considerados os intervalos iniciais descritos na tabela a seguir:
Função

x

y

F1 (x, y)

−3 ≤ x ≤ 3

−3 ≤ y ≤ 3

F2 (x, y) −2, 048 ≤ x ≤ 2, 048 −2, 048 ≤ x ≤ 2, 048
F3 (x, y)

−3 ≤ x ≤ 3

−2 ≤ x ≤ 2

F4 (x, y)

−2 ≤ x ≤ 2

−2 ≤ x ≤ 2

2. Sobre o Método de Newton Multivariável

A idéia do método de Newton multivariável consiste em construir um modelo linear local para um sistema F , numa aproximação conhecida (x0 , y0 ), de forma que
(2)
F (x) ≈ F (x0 ) + (F (x0 ))T · (x − x0 ) ou de forma equivalente,
JT

(x0 ,y0 )

· J|(x0 ,y0 ) · (x − x0 , y − y0 ) = −J|(x0 ,y0 ) · F (x0 , y0 ),

onde J|(x0 ,y0 ) é a matriz jacobiana no ponto inicial (x0 , y0 ).
1

(3)

3. Obtenção das derivadas parciais por um método numérico

Denominando por ui,j cada uma das funções Fk , 1 ≤ k ≤ 4 dadas em (1), podemos expandi-las em séries de Taylor, de onde obtemos as seguintes aproximações por diferenças nitas para a primeira e segunda derivadas, num ponto (x0 , y0 ) :
∂Fk
∂ui,j ui+1,j − ui,j
=
=
∂x
∂x
∆x
Fk
∂ui,j
ui,j+1 − ui,j
=
=
∂y
∂x
∆y
∂ 2 ui,j ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j
∂ 2 Fk
=
=
∂x2
∂x2