Sistemas Não Lineares

UNIVERSIDADE FEDERAL
˜
DE SAO CARLOS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Trabalho Final de Inicia¸ao Cient´ c˜ ıfica:

C´lculo de Pontos Peri´dicos em a o
Sistemas N˜o Lineares a Jos´ Vitor Michelin e Orientador: Prof. M´rio Bas´ de Matos a ılio

UFSCar - 2011

Sum´rio a 1 Introdu¸˜o ca 2

2 Estruturas te´ricas o 2.1 Defini¸˜es e Teoremas . . . . . . . . co 2.2 Se¸˜es e Mapas de Poicar´ . . . . . . co e
2.2.1 Mapa de Poincar´ pr´xima de e o
2.2.2 Mapa de Poincar´ pr´ximo de e o
2.3 Pontos Peri´dicos . . . . . . . . . . . o . . .
. . . uma uma
. . .

4
. . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . .
8
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Orbitas Peri´dicas o 8
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Orbita Homocl´ ınica 10
. . . . . . . . . . . 11

3 Formas Normais
14
3.1 Fundamentos Te´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 o 3.2 Forma Normal N˜o Ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 a 4 Propriedades e Desenvolvimento
4.1 Aplica¸˜o da Forma Normal . . . . . . . . ca 4.2 Comportamento da Aplica¸˜o . . . . . . . ca 4.3 Calculando os Pontos Homocl´ ınicos . . . .
4.4 Aproxima¸˜o inicial dos Pontos Peri´dicos ca o
4.5 M´todo do Ponto . . . . . . . . . . . . . . e .
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5 Resultados e Coment´rios a 28

Referˆncias Bibliogr´ficas e a

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1

Cap´ ıtulo 1

Introdu¸˜o ca Sistemas dinˆmicos s˜o sistemas que descrevem alguma caracter´ a a ıstica ou comportamento o qual evolui ou se modifica atrav´s do tempo. Na natureza, e como nada ´ est´tico, est´ repleta destes sistemas. e a a Existem dois tipos de sistemas dinˆmicos em rela¸˜o ao tempo: discretos a ca
(t ∈ N ou t ∈ Z ⇒ xt+1 = f (xt )); ou cont´ ınuos (t ∈ R ⇒ dx = f (x)). Um dt campo vetorial ´ definido como a varia¸˜o do fluxo com o tempo. Quando a
e