Sistema de duas equações

Matemática II - 2005/06 - Sistemas de Equações Lineares

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Sistemas de equações lineares
Introdução
Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x1 ; x2 ; :::; xn é uma expressão da forma:
(1)

a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn = b

onde a1 ; a2 ; :::; an ; b são constantes reais. A b chama-se termo independente da equação.
Exemplos:
1. A equação 2x1 +3x2 +x3 = 2, que representa um plano no espaço usual, é uma equação linear. 2. As equações x1

p
2x2 + x3 = 0, 2x1 + 3 x2 = 5 e x1 = cos x2 são exemplos de equações
2

não lineares.
Um sistema de equações lineares nas incógnitas x1 ; x2 ; :::; xn é um conjunto …nito de equações lineares nessas incógnitas, que se pode representar na forma:
8
> a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
>
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
.
.
>
.
>
>
>
: am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm

(2)

Exemplos:

1. O conjunto de equações

(

2x1 + 3x2 + x3 = 2 x1 + x2

3x3 = 0

;

(3)

que representa uma recta no espaço usual, é um sistema de equações lineares, com três incógnitas e duas equações.
2. O conjunto de equações
8
> 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2
>
>
>
< x + 3x + x x4 = 2
1
2
3
;
> 2x1 x2 + 2x3 x4 = 1
>
>
>
: x +x
3x3 + 2x4 = 0
1
2

é um sistema de quatro equações e quatro incógnitas.

(4)

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Soluções de sistemas de equações
Uma solução de uma equação linear da forma (1) é uma sequência (s1 ; s2 ; :::; sn ) de números reais para os quais, substituindo x1 = s1 ; x2 = s2 ; : : : ; xn = sn ; se obtém uma igualdade verdadeira, isto é, a1 s1 + a2 s2 + ::: + an sn = b.
Exemplo: A sequência (1; 1; 3) é uma solução da equação 2x1 + 3x2 + x3 = 2.
Uma solução de um sistema de equações lineares da forma (2) é uma sequência
(s1 ; s2 ; :::; sn ) de números reais que é solução de cada uma das equações lineares que compõe o sistema.
Exemplos:
1.

3 1 é uma solução do sistema (3). Como foi referido