serie harmonica

Série harmônica

Introdução
O objetivo deste artigo é o de fazer uma apresentação simples da chamada série harmônica, que possui propriedades muito interessantes.
Um pouco de História
As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade, e a primeira a ocorrer na História da Matemática é uma série geométrica de razão 1/4, que intervém no cálculo da área da parábola feito por Arquimedes.
Depois da ocorrência de uma série geométrica num trabalho de Arquimedes, as séries infinitas só voltaram a aparecer na Matemática cerca de 1500 anos mais tarde, no século XIV. Nessa época havia um grupo de matemáticos na Universidade de Oxford que estudava a cinemática, ou fenômeno do movimento; e, ao que parece, foi esse estudo que levou à reconsideração das séries infinitas. Ao lado dos pesquisadores de Oxford, havia também pesquisadores em outros centros. Na Universidade de
Paris, em particular, havia um professor chamado Nicole
Oresme (1325-1382), um destacado intelectual em vários ramos do conhecimento, como Filosofia, Matemática,
Astronomia, Ciências Físicas e Naturais. Além de professor universitário, Oresme era conselheiro do rei, principalmente na área de finanças públicas; e nessa função revelou-se um homem de larga visão,
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recomendando medidas monetárias que tiveram grande sucesso na prática.
Ao lado de tudo isso, Oresme foi também bispo de Lisieux.
Um dos trabalhos mais notáveis de Oresme sobre as séries infinitas está ligado à série harmônica.
Antes, porém, de falar da série harmônica, temos de explicar o que significa dizer que uma série é convergente ou divergente.
A idéia de “série infinita” aparece na Matemática quando imaginamos a operação de somar parcelas sucessivamente sem que essa operação termine após um número finito de parcelas somadas. Deixando de lado qualquer preocupação com a rigorização desse conceito, vamos examinar algumas séries infinitas simples. Por exemplo,
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