Series harmonicas

José Luiz Pastore Mello*
Especial para a Folha
A soma dos termos da sequência geométrica 1, 2, 4, 8,... é um bom exemplo de uma série divergente. Por outro lado, a seqüência geométrica dos inversos desses números, ou seja, 1, 1/2, 1/4, 1/8,... constitui uma seqüência cuja soma das parcelas converge para o número dois. Tal convergência pode ser verificada da seguinte forma: se chamarmos de S a soma de todos os termos da seqüência, poderemos dizer que 2S = 2 (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +...) ou ainda que 2S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 +... Desse resultado, concluímos que 2S = 2 + S, ou seja, que S= 2.

Após a apresentação de duas séries geométricas, uma divergente e outra convergente, pergunto ao leitor se a soma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4,... irá convergir ou divergir.

A série analisada chama-se harmônica. Apesar de os termos da série harmônica estarem cada vez mais próximos de zero, como na série geométrica convergente, ela constitui uma série divergente.

Para compreender melhor esse surpreendente resultado, vamos considerar os termos da soma, com exceção dos dois primeiros, em grupos de dois elementos, quatro elementos, oito elementos, e assim sucessivamente.

O primeiro grupo será 1/3 + 1/4, cujo resultado é maior do que 1/2 porque 1/3 é maior do que 1/4 (a soma de 1/4 com um número maior do que 1/4 necessariamente excede 1/2).

O segundo grupo será constituído por 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, cujo resultado também será maior do que 1/2 porque cada termo, exceto o último, excede 1/8 (três termos que excedem 1/8, somados com 1/8, excederão 1/2).

Analogamente, o terceiro grupo conterá os próximos oito elementos da série, cuja soma também excederá 1/2 e assim sucessivamente. Se estamos diante de uma série com infinitos grupos de números de soma maior do que 1/2, evidentemente a série tem de ser divergente.

Apesar de divergente, a série harmônica caminha adiante a passos bem lentos. A soma dos seus cem primeiros elementos, por exemplo, resulta em pouco mais do que cinco.