Series Harmonicas na Musica na Matematica

Serie Harmónica na Matemática
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A série harmônica em matématica:
A série harmônica é uma série muito simples, dada por:
Como se vê, os termos da série harmônica estão decrescendo para zero.
Mas será que, quando o termo geral de uma série tende a zero, ela converge?
Se for assim — e à primeira vista parece que é —, então a série harmônica deve ser convergente.
Vamos investigar. Após a soma de um grande número de termos da série harmônica, quando chegarmos a n = 1020
, n= 1030
, n = 10100, etc., estaremos somando tão pouco que teremos a impressão de que a soma de todos os termos da série infinita realmente é um número finito. Aliás, hoje em dia, com a ajuda do computador, podemos até fazer cálculos experimentais interessantes.
Vamos supor que fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo de tempo. Como um ano tem aproximadamente
365,25 x 24 x 60 x 60 = 31 557 600 segundos, nesse período de tempo seríamos capazes de somar a série até n = 31 557 600, obtendo para a soma um valor pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos, a pouco mais de
22. Como se vê, somas parciais de termos da série harmônica jamais nos levariam a suspeitar que ela diverge. Pelo contrário, essas somas só nos levam a pensar que a série seja convergente.
Isso, todavia, é falso! Embora surpreendente, esse resultado pode ser facilmente demonstrado. .
A demonstração de que a série harmônica diverge, feita pela primeira vez por Oresme, mostra como é decisivo o papel do raciocínio lógico para estabelecer uma verdade que jamais seria descoberta de outra maneira.
De fato, como vimos acima, mesmo somando os termos da série durante um século (se isso fosse possível), não chegaríamos a um resultado que nos desse qualquer indício de que a série seria divergente...
Para terminar, vamos fazer mais um exercício de imaginação. Hoje em dia temos computadores muito rápidos, e a tecnologia está produzindo máquinas cada vez