Serie de FOurier

Se¸ao 17: S´ries de Fourier c˜ e
Fun¸˜es Peri´dicas co o
Defini¸˜o. Dizemos que uma fun¸˜o f : R −→ R ´ peri´dica de per´ ca ca e o ıodo P , ou ainda, mais resumidamente, P −peri´dica se f (x + P ) = f (x) para todo x. o Note que s´ definimos fun¸˜o peri´dica se o dom´ o ca o ınio da fun¸˜o for todo R. Portanto se o ca dom´ ınio de uma fun¸˜o n˜o for todo R, n˜o faz nem sentido perguntar se ela ´ peri´dica. ca a a e o 2π
Exemplo. A fun¸˜o f (x) = sen x ´ 2π−peri´dica. A fun¸˜o f (x) = cos ax ´ ca e o ca e −peri´dica. o a
Observa¸˜o. Se uma fun¸˜o f (x) ´ P −peri´dica, ent˜o f (x + P ) = f (x) para todo x. Substica ca e o a tuindo x por x + P , temos f (x + 2P ) = f (x + P ) + P = f (x + P ) = f (x) para todo x. Logo, se f (x) ´ P −peri´dica, ent˜o f (x) tam´m ´ 2P −peri´dica. Pelo mesmo e o a e e o argumento, f tamb´m ´ 3P −peri´dica. De maneira semelhante se obt´m que f (x) tamb´m ´ e e o e e e nP −peri´dica, para todo n. Portanto se existir per´ o ıodo, ele n˜o ´ unico. O mais interessante ´ a e´ e determinar o menor per´ ıodo de uma fun¸˜o. ca Opera¸oes com fun¸oes peri´dicas c˜ c˜ o Teorema 1. Se f (x) e g(x) s˜o fun¸oes com um mesmo per´ a c˜ ıodo P , e se c ´ um n´mero real, e u f (x) ent˜o f (x) + g(x), f (x) − g(x), f (x)g(x), cf (x) e a s˜o fun¸˜es P −peri´dicas. a co o g(x)
Demonstra¸˜o: Vamos provar uma delas. As outras s˜o semelhantes. Seja h(x) o produto ca a h(x) = f (x)g(x). Ent˜o, a h(x + P ) = f (x + P )g(x + P ) = f (x)g(x) = h(x), mostrando que, de fato, h ´ P −peri´dica. e o
Exemplo. As fun¸˜es f (x) = sen x e g(x) = cos x s˜o peri´dicas com o mesmo per´ co a o ıodo 2π. f (x)
Portanto f (x)g(x) e s˜o 2π−peri´dicas. Na verdade, a o g(x) f (x)g(x) = cos x sen x =

sen 2x
2

e

f (x) =

sen x
= tan x cos x

s˜o at´ π−peri´dicas. Pela observa¸˜o feita no par´grafo acima, sendo π−peri´dicas, s˜o a e o ca a o a tamb´m 2π−peri´dicas,