Seq Ser Inf

Sequˆencias e S´eries Infinitas
Walner Mendon¸ca dos Santos

1

Sequˆ encias Defini¸c˜ ao 1 Uma sequˆecia {an } tem limite L e escrevemos ou an → L,

lim =

n→∞

n→∞

quando

se pudermos tornar os termos an t˜ao pr´oximos de L quanto quisermos ao fazer n suficientemente grande. Se limx→∞ an existir, dizemos que a sequˆencia converge (ou ´e convergente). Caso contr´ario, dizemos que a sequˆencia diverge (ou ´e divergente).
Uma vers˜ao mais precisa da Defini¸c˜ao 1 ´e a seguinte:
Defini¸c˜
ao 2 Uma sequˆencia {an } tem limite L e escrevemos lim =

n→∞

se, para cada

ou an → L

quando

n→∞

> 0, existir um inteiro correspondente N tal que se n ≥ N, ent˜ao | an − L |<

Teorema 1 Se lim f (x) = L e f (n) = an quando n ´e um inteiro, ent˜ao x→∞ lim an = L.

n→∞

Teorema 2 (Teorema da sequˆ encia mon´ otona) Toda sequˆencia mon´otona
´e limitada e conergente.

2

S´ eries ∞

arn = a + ar + ar2 + . . . converge

⇔

| r |≤ 1

n=0

e nesse caso, sua soma ´e
∞

arn =

⇒ n=0 a
, se
1−r
1

| r |≤ 1

∞ n=0 Teorema 3 Se a s´erie

an for conergente, ent˜ao limn→∞ an = 0.

Color´ ario 1 (Teste para divergˆ encia) Se limn→∞ an n˜ao existir ou se limn→∞ an =
0, ent˜ao a s´erie ∞ a ´ e divergente. n=0 n

2.1

Teste da Integral

Suponha f (x) cont´ınua, positiva e divergente em [1, ∞) e seja an = f (x).
∞

a) Se

∞ n=0 f (x)dx for convergente, ent˜ao

an ser´a convergente.

1
∞

b) Se

f (x)dx for divergente, ent˜ao

∞ n=0 an ser´a divergente.

1

Exemplo 1 A p-s´erie

2.2

∞
1
n=1 np

´e convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1.

Estimando somas por meio de integrais

Suponha f (x) nas mesmas condi¸c˜oes acima e convergente. Seja Sn a soma parcial da s´erie com n elementos.
Se Rn = S − Sn , ent˜ao
∞

∞

f (x)dx ≤ Rn ≤ n+1 f (x)dx n Se somarmos Sn em cada lado dessas desigualdades, teremos:
∞

∞

f (x)dx ≤ S ≤ Sn +

Sn + n+1 2.3

f (x)dx n Teste da Compara¸c˜ ao Suponha que

an e

bn sejam s´eries com termos positivos.

a) Se bn for convergente e an ≤ bn para todo n,