NotasAnaliseI

Notas Para o Curso de An´ alise Matem´ atica I
Daniel V. Tausk

Sum´ ario Cap´ıtulo 1. Medida de Lebesgue e Espa¸cos de Medida............ 1
1.1. Aritm´etica na Reta Estendida...................................... 1
1.2. O Problema da Medida ................................................ 6
1.3. Volume de Blocos Retangulares.................................... 7
1.4. Medida de Lebesgue em IRn ......................................... 9
1.5. Conjuntos de Cantor .................................................... 26
1.6. Conjuntos n˜ ao Mensur´aveis .......................................... 29
Exerc´ıcios para o Cap´ıtulo 1.................................................. 33
Cap´ıtulo 2. Integrando Fun¸c˜oes em Espa¸cos de Medida .......... 39
2.1. Fun¸c˜oes Mensur´aveis .................................................... 39
2.2. Integrando Fun¸c˜oes Simples n˜ ao Negativas .................. 49
2.3. Integrando Fun¸c˜oes Mensur´ aveis n˜ao Negativas........... 53
2.4. Defini¸c˜ao da Integral: o Caso Geral ............................. 56
2.5. Teoremas de Convergˆencia ........................................... 61
2.6. Riemann x Lebesgue..................................................... 65
2.7. O Teorema de Fubini em IRn ....................................... 73
Exerc´ıcios para o Cap´ıtulo 2.................................................. 82
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Mudan¸ca de Vari´ aveis para Integrais de Lebesgue ............................................................. 88
3.1. O Efeito de Aplica¸c˜oes Lipschitzianas sobre a Medida de Lebesgue......................................................... 88
3.2. O Efeito de Aplica¸c˜oes Lineares sobre a Medida de Lebesgue ................................................................. 91
3.3. O Teorema de Mudan¸ca de Vari´ aveis ........................... 93
3.4. Apˆendice `a Se¸c˜ao 3.3: recorda¸c˜ao de C´alculo no IRn ... 99
Exerc´ıcios para o Cap´ıtulo