Analise

Universidade Federal de Goia´s
Campus Catala˜o
Curso de Matema´tica

´ LISE: UMA INTRODUC
˜O
ANA
¸A

Prof. Andr´ e Luiz Galdino

Ouvidor
2011

Sum´ ario Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

N´ umeros Reais

1
5

1.1

N´ umeros naturais e inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

N´ umeros racionais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

N´ umeros Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

N´ umeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5

M´odulo de um n´ umero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6

M´aximo, M´ınimo, Supremo e
´Infimo de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7

Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Sequ encias de N´ umeros Reais
¨ˆ

35

2.1

No¸c˜oes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2

Limite de uma Seq¨ uˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3

Opera¸co˜es com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4

Crit´erio de Convergˆencia de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5

Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 No¸co
˜es de Topologia
3.1

59

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

i

ii
4 Limite e continuidade de Fun¸co
˜es

70

4.1

Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2

Limites laterais . . . . . . . . . . . . . .