Ressonancia na pratica

RESSONÂNCIA

O movimento harmônico simples é um movimento oscilatório cuja amplitude
Ao é constante.
A equação de movimento é:
2
d m x

dt

2

Ao

-Ao

= -kx

x(t)
Ao
O período To depende da massa e da constante elástica da mola.

2π

m
To =
= 2π k ωo

t

-Ao
To
x(t)= Ao cos( ωot+φ)

Oscilador amortecido
Na presença de forças de atrito, o oscilador é amortecido.
No caso de atrito viscoso proporcional à velocidade: d2 x dx 2
= -ωo x - 2γ
2
dt dt x(t) = A0 e - γ t cos (ω ' t + ϕ )

x(t)

A(t) = Ao e-γγt

Ao

A amplitude A(t) diminui exponencialmente: ω ' = ω02 − γ 2

T t -Ao

Interpretação da constante de amortecimento γ

A(t) = Ao e-γγt
Quando t = 1/γ :
A
1
-1
=e ≈
≈ 0,37
2,72
A0

γ é o inverso do tempo necessário para a amplitude diminuir até 0,37 do valor inicial.
Por exemplo, pode-se calcular γ medindo a amplitude após 3 ciclos (t = 3To):

ln [A0 / A]
A
−3T0γ
=e
→ γ =
A0
3T0

Oscilador forçado
Motor que força a oscilação

Diagrama do dispositivo

Fmotor = F0 cos ω t

Fmola = -kx
Sistema
massa mola

Atrito viscoso Força resultante

dx
Fatrito = -b dt F = Fmola + Fatrito +F motor

Oscilações forçadas com força Fo cos
- frequência da força aplicada é ω,
- diferente da frequência natural ωο .

d2 x dx m 2 = -k x - b
+ Focos ω t dt dt d2 x dx Fo
2
= -ωo x - 2γ
+ cos ω t
2
dt dt m

ωt , k ω = m 2 o (1)

A solução x(t) terá duas componentes: a que diminui exponencialmente com o tempo e a permanente. mesma frequência da força imposta

x (t ) = A0 e-γ t cos (ω ' t + ϕo ) + A(ω )cos(ωt + ϕ (ω ))

A amplitude das oscilações varia com a frequência imposta f = ω/ 2π.
C
2
Substituindo a solução permanente A (f ) =
2
2
2
4 π ( f f
)
+ γ na equação de movimento (1),
0
obtém-se A(f):

A2 (cm2)

onde f0 é a frequência das oscilações livres

A2(f 0 )
A2(f 0 )
2

1
1
f0 = =
T0 2π

γ/π f0 f (Hz)

k m Observe que a amplitude de oscilação é máxima quando a frequência da força aplicada é igual à frequência das oscilações livres (f = fο) .
2
A
(f ) =
Neste ponto ocorre