resmat

Derivada: Definição e Interpretação Geométrica

Objetivos Específicos
O aluno deverá:
Adquirir os conceitos de derivada;
Interpretar geometricamente as funções derivadas.

1. Derivada no ponto
Definição: Seja uma função definida em um intervalo I, xo um ponto de I e

Diz-se que:
a) O valor do limite, que se indica por é denominado derivada da função no ponto xo:

b) A função f(x) é derivável no ponto x0 se existir e for finito o limite:

c) Se o limite não existe ou é ou , diz-se que a função não é derivável no ponto x0.

Exemplo 1:
Qual é a derivada da função f(x)=2x+1 no ponto x0=1?
1º Passo: Por definição
(Sabe-se que: f(x)=2x+1 e f(1)=2(1)+1 f(1)=3)
2º Passo: Substitui-se os valores de f(x) e f(1)

3º Passo: Coloca-se 2 em evidência

4º Passo: A derivada da função no ponto xo.

Exemplo 2:
Qual a Derivada da função no ponto no ponto xo=2?
1º Passo: Por definição
(Sabe-se que: e f(2)=4)
2º Passo: Substitui-se os valores

3º Passo: Fatorando , temos:

4º Passo: A derivada da função no ponto xo.

EXERCÍCIOS
1) Qual a derivada de f(x)=x2+3x no ponto xo=1?
2) Qual é a derivada da função f(x)=x2+3 no ponto xo=2?
3) Qual é a derivada da função f(x)=3x2+12x-4 no ponto xo=2?
4) Qual é a derivada da função f(x)=x2+3x+7 no ponto xo=0

Gabarito
1) -1
2) 4
3) 24
4) 3

2. Significado Geométrico da Derivada
1. A partir do gráfico da função y=f(x) pode-se observar que a razão incremental
2. Quando tende a zero a reta secante (s) aproxima-se da reta tangente t, pode-se então dizer que que é coeficiente angular da secante se aproxima do coeficiente angular da reta tangente t .

Resumindo:
1. coeficiente angular da secante;
2.  coeficiente angular de t (reta tangente a curva)
3. (Definição)

Exemplo 1:
Aplicando a definição obter a função derivada da função f(x)=x2.
Sabe-se que f(x)=y, logo:
1º Passo: Cálculo de f(x + ∆x) f(x + ∆x)= (x + ∆x)2 = x2+ 2x ∆x + (∆x)2
2º Passo: