Resistência dos materiais

06 – Flexão - Tensões em vigas
Considere um trecho de viga sujeita à flexão pura.
Depois da deformação, os planos de duas seções transversais adjacentes, mn e pq, encontram-se no ponto
O, que é o centro de curvatura do eixo longitudinal da viga. O ângulo desses planos é indicado por d e o raio de curvatura, por 

Como a curvatura  e o módulo de elasticidade E são constantes, vem

 y dA  0

(6-6)

O momento da força elementar xdA, em relação ao eixo neutro, é xydA. A integral de todos esses momentos elementares sobre a área da seção transversal deve ser igual ao momento fletor M; assim:

M    x y dA  E y 2 dA  EI

(5-7)

onde:

I   y 2 dA

(6-8)

é o momento de inércia da área da seção transversal, em relação ao eixo z, que é o eixo neutro



1M

 EI

(6-9)

Combinando as equações 6-5 e 6-9, obtém-se a equação que dá as tensões normais da viga:
Da geometria da figura, vem

1 d
 
 dx

x 
(6-1)

onde  é a curvatura, igual ao inverso do raio de curvatura, e dx, o comprimento do elemento entre as duas seções transversais, mn e pq.

x 

y
 y


(6-2)

Esta equação mostra que as deformações longitudinais,
x, são diretamente proporcionais à curvatura e à distância y da superfície neutra.
Quando a viga é de material elástico, com diagrama tensão-deformação linear (material que segue a Lei de
Hooke), tem-se =E e, portanto, as tensões normais na viga são:
(6-5)
 x  Ey

M y I

(6-10)

Nesta equação, M é positivo quando produz compressão no viga e y é positivo quando o sentido é para baixo.
Designa os afastamentos das fibras extremas por c1 e c2, para tração e compressão, respectivamente, e supondo M positivo, a equação 6-10 permite escrever:

 x max
 x min

Mc1 M
;

I
Z1
Mc2
M


I
Z2


(6-11a)
(6-11b)

onde Z1 e Z2 são módulos de resistência, ou módulos da seção, ou módulos de resistência à flexão da área da seção transversal. Se a seção for simétrica em relação ao eixo Z, c1=c2=c

 x max

  x min 

Mc M

I
Z

(6-12)