Raiz quadrada

Ra´ quadradas ızes March 18, 2006
Teorema 1 Seja K um corpo ordenado completo (isto ´, K = R). Ent˜o e a
√
todo a ∈ K com a ≥ 0 admite raiz quadrada a, isto ´, existe b ∈ K tal que e 2 b = a.
A demonstra¸ao deste teorema usa os seguintes lemas. c˜ Lema 2 Seja K um corpo ordenado. Ent˜o, para todo x, y ∈ K com x < y a existe z ∈ K tal que x < z < y. Em particular, se x > 0 ent˜o existe ε com a 0 < ε < x. x+y Demonstra¸˜o: De fato, a m´dia aritm´tica z = ca e e satisfaz as desigual2 x+y dades x <
< y (veja exerc´ 13 da lista 3). ıcio 2
Lema 3 Seja K um corpo ordenado e tome x, y ∈ K tais que x, y ≥ 0.
Ent˜o, x < y se, e s´ se, x2 < y 2 . a o
Demonstra¸˜o: Para a demonstra¸˜o suponha que x, y > 0 (pois se x ou ca ca y for = 0 a equivalˆncia ´ imediata). A implica¸˜o x < y ⇒ x2 < y 2 ´ o e e ca e
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2 exerc´ 8(i) da lista 3. Para a rec´ ıcio ıproca observe que x < y ⇒ y − x >
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0. Mas, y − x = (y − x) (y + x) pela propriedade distributiva. Portanto,
(y − x) (y + x) > 0. Como x, y > 0 segue que y + x > 0. Portanto,
(y − x) (y + x) > 0 ⇒ y − x > 0, o que garante que y > x.
Para demonstrar o teorema pode-se supor que a = 0 e a = 1 pois evidentemente 0 ´ uma raiz quadrada de 0 e 12 = 1, portanto os casos em que e a = 0 e a = 1 j´ est˜o demonstrados. a a
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Sup˜e-se ent˜o que a > 0 e a = 1. Considere o seguinte conjunto: o a
Aa = {x ∈ K : x ≥ 0 e x2 < a}.
Esse conjunto ´ diferente de ∅ pois 0 ∈ Aa (j´ que 02 = 0 < a, por hip´tese). e a o Al´m do mais esse conjunto ´ limitado superiormente. De fato, se a < 1 e e ent˜o para todo x ∈ Aa , vale x2 < a < 1, isto ´, x2 < 12 = 1, o que pelo lema a e
3, garante que x < 1. Da´ que se a < 1 ent˜o 1 ´ um majorante de Aa . Por ı a e 2 outro lado, se a > 1 ent˜o a < a (veja exerc´ 8(f) da lista 3).. Aplicando a ıcio a transitividade da ordem segue que se x ∈ Aa ent˜o x2 < a2 . Novamente a pelo lema 3, segue que x < a. Portanto, a ´ um majorante de