Raiz quadrada

Albino Linhares
Setembro de 2005

Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número positivo A é um número positivo B de modo que B2 = A.
A raiz quadrada de 9 é 3 porque 32 = 9.
Escrevemos 9  3

Não existe a raiz quadrada de um número negativo.
Suponhamos que queríamos calcular a raiz quadrada de -9. Teríamos que encontrar um número (real) que elevado a dois desse -9. Tal número não existe porque o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero.
Está errado!
Os alunos escrevem bastantes vezes:
 9  3
Isto está errado porque  32   3   3  9
Repara que…
Por vezes expressões diferentes são erradamente identificadas como se fossem a “mesma coisa”.
9   9
 9 é uma expressão sem significado no conjunto dos números reais. Não existe.
 9  3
Raiz quadrada e potências
1
Com uma máquina de calcular científica (ou gráfica) experimenta calcular a expressão 25 2 . O valor é 5. Se

experimentares elevar outros números positivos a

a

1 a2 1 verás que obténs sempre a raiz quadrada.
2

, para qualquer valor de a não negativo.

Operações com radicais quadráticos
Multiplicação:
1

1

a  b  a 2  b 2  a  b  2  a  b , a e b não negativos. raiz quadrada do produto.

Exemplo:

1

5  20  5  20  100  10
7  7  77  7

O produto de raízes quadradas é igual à

Divisão:
1

a b 

1

a 2
  
1
b
2

a2

b quadrada do quociente.
Exemplo:

72
2



a
, a não negativo e b positivo. O quociente de raízes quadradas é igual à raiz b 72
 36  6
2

Adição e subtracção:
Será que
16  4  20 ?
É fácil verificar se a expressão está ou não correcta.
16  4
Concluímos então que 16  4  20

42
20  4,47...

De um modo geral, para quaisquer números positivos, a  b  ab
Só podemos somar ou subtrair raízes quadradas do mesmo número.
2 5  7 5  2  7  5  9 5

8 3  2 5 não se pode somar.

7 37 27 97
77




3
2
6
6
6