Quádricas

Tabela de superf´ ıcies cil´ ındricas e qu´dricas a
Elips´ide o Hiperbol´ide de uma folha o Hiperbol´ide de duas folhas o

x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c Todos os tra¸os s˜o elipses. c a Se a = b = c, o elips´ide ´ uma o e superf´ esf´rica. ıcie e

x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 a2 b c Tra¸os horizontais s˜o elipses. c a Tra¸os verticais s˜o hip´rboles. c a e O eixo de simetria corresponde ` a vari´vel cujo coeficiente ´ negativo. a e

−

x2 y2 z2 − 2 + 2 =1 a2 b c

Tra¸os horizontais em z = k c s˜o elipses se |k| > c. a Tra¸os verticais s˜o hip´rboles. c a e Os dois sinais de menos indicam duas folhas.

Cone el´ ıptico

Parabol´ide el´ o ıptico

Parabol´ide hiperb´lico o o

x2 y2 z2 + 2 − 2 =0 a2 b c Tra¸os horizontais s˜o elipses. c a Tra¸os verticais nos planos x = k e c y = k s˜o hip´rboles se k = 0, mas s˜o a e a um par de rectas quando k = 0.

x2 y2 + 2 = 2pz , a2 b

com p > 0

Tra¸os horizontais s˜o elipses. c a Tra¸os verticais s˜o par´bolas. c a a A vari´vel elevada ` primeira potˆncia a a e indica o eixo do parabol´ide. o

x2 y2 − 2 = 2pz , com p > 0 a2 b Tra¸os horizontais em planos z = k = 0 c s˜o hip´rboles. O tra¸o no plano a e c z = 0 ´ um par de rectas concorrentes e na origem. Tra¸os verticais s˜o par´bolas. c a a

Cilindro el´ ıptico

Cilindro hiperb´lico o

Cilindro parab´lico o

x2 y2 + 2 =1 2 a b Tra¸os horizontais s˜o elipses. c a As geratrizes s˜o rectas paralelas a ao eixo da vari´vel que n˜o aparece. a a

y2 x2 − 2 =1 a2 b Tra¸os horizontais s˜o hip´rboles. c a e As geratrizes s˜o rectas paralelas a ao eixo da vari´vel que n˜o aparece. a a

z = ax2 ,

com a > 0

Tra¸os nos planos y = k s˜o par´bolas. c a a As geratrizes s˜o rectas paralelas a ao eixo da vari´vel que n˜o aparece. a a