Quádricas

Quádrica, em matemática, é o conjunto dos pontos em R³ cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis.
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 (1) onde a; b; c; d; e; f; g; h; i; j ∈ R, com a, b, c, d, e, f não simultaneamente nulos.
Caso a equção (1) seja cortada por um dos planos coordenados ou planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. Por exemplo para o plano y = 0 que corta (1) tem-se a cônica: ax² + cz² + fxz + gx + iz + j = 0, que está contida no plano y = 0, ou seja, no plano xOz.
Através de mudanças de coordenadas (translação e rotação) a equação (1) pode ser transformada em uma das seguinte formas:

(2) Quádrica centrada

(3) Quádricas não centradas

Se nenhum dos coeficientes dos termos do 1° membro das equações (3) for nulo, elas podem ser escritas sob uma das seguintes formas: (4)
Que são as equações na forma canônica ou padrão de uma quádrica não centrada.
Superfície Não Centrada
Parabolóide Elíptico

Se nas equações (5) tivermos que os coeficientes dos termos em segundo grau tiverem sinais iguais a equação representa um parabolóide elíptico de equação:
(5)
Que representam parabolóides elípticos ao logo dos eixos Oz, Ou e Ox respectivamente.
Onde a e b são números reais. E a superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro grau na forma canônica da equação.

Um parabolóide elíptico é uma superfície S no R³ que é definida por:

S = {P = (x,y,z) ∈R³ / ; a, b ∈ R > 0}.

Antes de estudarmos as interseções de um parabolóide elíptico com os planos faremos um rápido estudo sobre parábola e elipse, pois são essas duas cônicas que formas a superfície em estudo.

Parábola é o conjuntos dos pontos P no plano equidistantes de uma reta r e de um ponto F (foco). Onde F não pertence a reta r.
{P ∈ R² / ||PF|| = d(P,r)}
Seja P = (xo, yo) ∈ R², queremos achar a equação da parábola nas coordenadas xo e yo tal que: ||PF|| = d(P,r),