Prova

CURSOS DE ENGENHARIA DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSORA: Rosely Bervian DATA: _____ / _____ / _____ ALUNO(A):_______________________________________________________

SIMULADO 2
“Ninguém é tão ignorante que não tenha algo a ensinar; e ninguém é tão sábio que não tenha algo a aprender”.
Blaise Pascal

Questão 1. Sejam C: r (t)  3t2  2t , 2t  1 , cos(4t) e s a reta tangente a C no ponto (0,1,1). Sendo o ponto A(106,a,b) pertencente à reta s, determine os valores de a e b.



Questão 2. a) Determine uma equação da reta tangente à curva C: r(t) 



2cos(t), 2sen(t),t



 no ponto  1,1,  .   4 
1 5  b) Verifique se o ponto   , ,  pertence à reta tangente determinada na letra (a).    2 2 4

Questão 3. Uma partícula está se movendo ao longo de uma curva C de equações paramétricas  1    x  4cos  2 t   .  1   y  4sen t    2   a) Se x e y são medidos em centímetros, determine o vetor velocidade e o vetor aceleração. b) Determine a equação da reta tangente à curva C no ponto (2,2 3 ). Questão 4. Funções que satisfazem a Equação de Laplace, isto é, 2f  x,y,z   0 , são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel importante nas aplicações físicas. Verifique se a função f(x,y,z) = excos(y) + z + 1 é uma função harmônica.

Questão 5. a) Calcule o gradiente do campo escalar f  x,y,z   2xy  yz2  ln z  . b) Calcule o divergente do campo vetorial f  x,y,z   xcos(y)i  3x2sen(y)j  xz2 k

Questão

6.

Considere

o

campo

vetorial

f(x,y,z) = div g . Calcule



  y3 g(x,y,z)   y2  xz ,  xz , x 2z  3xy  3  

e

 f(x,y,z)ds , sendo C: r(t)   4cos(t),4sen(t),4 , com 0  t  2.
C

Questão 7. a) Calcule o trabalho realizado pela força f = (y,x,z2) para deslocar uma partícula ao longo da hélice r(t)  2cos(t),2sen(t),2t  do ponto A(2,0,0) ao ponto B(2,0,4).
(3,2)

b) Mostre que a integral

( 1,0)



2xsen(y)dx   x2 cos(y)  3y2  dy é