Propriedades de Fourier discreta

Cap´ıtulo 4

S´ erie de Fourier de Sinais Discretos
Defini¸
c˜ ao 4.1: Sinais Peri´ odicos Um sinal x[n] ´e peri´ odico se existe um inteiro positivo N tal que x[n] = x[n + N ] para ∀n ∈ Z.
Nesse caso, N ´e um per´ıodo e, se for o menor inteiro que satisfaz a rela¸c˜ao, ´e chamado de per´ıodo fundamental. Sinais peri´ odicos s˜ ao uma classe importante de sinais de potˆencia, que podem ser representados por s´eries de Fourier1 .
Propriedade 4.1:
A fun¸c˜ao x[n] = exp(jβn) , β ∈ R , n ∈ Z
´e peri´ odica se e somente se β = 2π

p
, p, q ∈ Z q Se q = N ´e o menor inteiro positivo que satisfaz a rela¸c˜ao, ent˜ao N ´e o per´ıodo fundamental.
Prova:
Se β = 2π

p
, p, q ∈ Z q ent˜ao exp jβ(n + q) = exp(jβn) exp(jβq) = exp(j2πp) exp(jβn) = exp(jβn)

⇒

peri´ odica Por outro lado, se x[n] = exp(jβn) ´e peri´ odica, ou seja, se x[n] = x[n + q]

⇒

exp(jβn) = exp jβ(n + q)

exp(jβn) = exp(jβn) exp(jβq)

⇒

exp(jβq) = 1

ent˜ao
⇒

βq = 2πp , p, q ∈ Z
⋄

1

Jean Baptiste Joseph Fourier, matem´ atico francˆes (1768–1830).

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Cap´ıtulo 4. S´erie de Fourier de Sinais Discretos
Exemplo 4.1: Para que o sinal x[n] = sen(an) =

1
1
exp(jan) − exp(−jan) 2j
2j

seja peri´odico, ´e necess´ario que a = 2π

p
, p, q ∈ Z q ✷

Propriedade 4.2:
Se x1 [n] e x2 [n] s˜ ao peri´ odicos, ent˜ ao a soma x[n] = c1 x1 [n] + c2 x2 [n]
´e peri´ odica e o per´ıodo fundamental ´e (em geral) m´ ultiplo dos per´ıodos individuais.

⋄

Exemplo 4.2: O per´ıodo fundamental (menor per´ıodo) do sinal x[n] = exp(j3πn/5) − exp(jπn/2) = exp(j2π

3
1
n) − exp(j2π n)
10
4

´e obtido a partir dos menores valores de m1 e m2 inteiros que verificam
N = 10m1 = 4m2

⇒

m1 = 2, m2 = 5

⇒

N = 20

sendo N1 = 10 e N2 = 4 os per´ıodos das componentes.

✷

Defini¸ c˜ ao 4.2: Produto Escalar de Sinais Peri´ odicos O produto escalar dos sinais peri´ odicos gk [n] e gℓ [n], de per´ıodo N