Problemas de otimização

Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma função pode assumir em um dado intervalo. Problemas de otimização são comuns em nossa vida diária e aparecem quando procuramos determinar o nível de produção mais econômico de uma fábrica, o ponto da órbita de um cometa mais próximo da terra, a velocidade mínima necessária para que um foguete escape da atração gravitacional da terra, etc.

O problema da estamparia de camisetas que estudamos no início deste capítulo mostrou como o conhecimento das principais propriedades e características das funções quadráticas pode nos ajudar a resolver problemas reais. Esta seção será voltada a estudar alguns métodos para modelar e resolver alguns problemas de otimização. Mais especificamente, estudaremos problemas envolvendo máximos e mínimos de funções quadráticas e inequações de segundo grau.

A resolução da maioria dos problemas de otimização requer conhecimentos de Cálculo Diferencial que foge ao objetivo deste curso. No entanto, é possível e até mesmo muito fácil resolver este tipo de problema quando o mesmo é modelado por uma função quadrática. Como já vimos, toda função quadrática tem um valor extremo, que ocorre no vértice de seu gráfico. O gráfico ao lado exemplifica o caso em que o vértice da parábola é um ponto de máximo.

Assim, na maioria dos problemas de otimização envolvendo funções quadráticas, a tarefa mais difícil é achar a função que modela o problema. Feito isto, resolver o problema se resume em achar as coordenadas do vértice do gráfico da função. Neste capítulo, nós já estudamos e resolvemos um problema deste tipo quando determinamos o número de camisetas que devem ser vendidas para que o lucro no negócio de estamparia seja máximo (Problema 1 - Seção Mãos à obra). O exemplo a seguir ilustra outra situação deste tipo.

Exemplo 1

Usando Cálculo e Física, podemos provar que, sob certas condições (considerando