problemas de Hilbert

O S´timo Problema de Hilbert e Leon Cavalcante Limaa , Arlyson Alves do Nascimentob a Instituto Federal de Alagoas, Email: [e-mail] b Instituto Federal de Alagoas

Esse trabalho tem como objetivo discutir sobre o 7◦ problema de Hilbert que consiste em estabelecer se certos n´meros s˜o transcendentes ou alg´bricos. O trabalho aqui desenvolvido relata uma bela e importante p´gina u a e a na hist´ria da Matem´tica. Desde o s´culo XV III grandes matem´ticos dedicaram-se com grande paix˜o a o a e a a essas quest˜es e muitos deles deram contribui¸˜es not´veis. Nesse quadro figuram grandes matem´ticos tais o co a a como J.H. Lambert, que demonstrou a irracionalidade de π, em 1761; J. Liouville, que, no ano de 1844, provou que existem n´meros transcendentes atrav´s de uma classe desses n´meros; C. Hermite que, no ano de 1874, u e u demonstrou a transcendˆncia do n´mero e; F. Lindemann que demonstrou que π ´ transcendente, em 1882; e u e A. Gelfond no ano de 1934 e Theodor Schneider, em 1935, que resolveram, independentemente o famoso 7o
√

Problema de Hilbert sobre a transcendˆncia de alguns n´meros tais como 2 e u

2

. No ano de 1900 foi realizado,

em Paris, um congresso mundial de matem´tica, onde a principal conferencia foi realizada por David Hilbert, a um dos mais brilhantes e importantes matem´ticos da ´poca. Nessa conferencia de t´ a e ıtulo Os problemas da
Matem´tica, Hilbert propˆs nada mais do que dar uma lista contendo 23 problemas que deveriam nortear os a o rumos da Matem´tica no s´culo XX. Entre eles estava O S´timo Problema de Hilbert que consistia em decidir a e e √

se 2

2

´ irracional alg´brico ou irracional transcendente. A solu¸˜o desse belo problema foi concebida somente e e ca no ano de 1930, quando R. Kuzmin e C. L. Siegel provaram, independentemente, o seguinte Teorema 1. O
√

n´mero α u n

´ transcendente sempre que α for um n´mero alg´brico n˜o-nulo