primitivas

´ tica da Universidade de Coimbra
Departamento de Matema
´ tica (Mestrado Integrado em Cie
ˆncias Farmace
ˆuticas)
Matema

Tabelas
Primitivas imediatas

Fun¸c˜ao

Fun¸c˜ ao Primitiva

a

ax + C

fm f

f m+1
+ C (m ∈ R\{−1}) m+1 f f ln |f | + C

af f

af
+ C (a ∈ R+ \{1}) ln a

Fun¸c˜ oes trigonom´etricas
Primitiva

Fun¸c˜ao

Fun¸c˜oes hiperb´olicas
Primitiva

f sen f

− cos f + C

f sh f

ch f + C

f cos f

sen f + C

f ch f

sh f + C

f tg f

− ln | cos f | + C

f th f

ln ( ch f ) + C

f cotg f

ln | sen f | + C

f coth f

ln | sh f | + C

f sec f

ln | sec f + tg f | + C

f sech 2 f

th f + C

f cosec f

ln | cosec f − cotg f | + C

f cosech 2 f

− coth f + C

f sec2 f

tg f + C

f sech f th f

− sech f + C

f cosec 2 f

− cotg f + C

f cosech f coth f

− cosech f + C

f sec f tg f

sec f + C

f cosec f cotg f

f
1 + f2

− cosec f + C

f

f
1 − f2

arc sen f + C

ou

f2 − 1 f 1 − f2

− arc cos f + C f 1 + f2

arc tg f + C

|f |

f2 − 1

f
|f |

arc sec f + C

arg ch f + C arg th f+C, |f | < 1, arg coth f+C, |f | > 1

ou

− arc cotg f + C f arg sh f + C

ou

1 − f2 f − arc cosec f + C

|f |

1

1 + f2

− arg sech f + C arg cosech f + C

˜ o por partes
Primitivac
¸a f (x)g(x) dx = F (x)g(x) −

F (x)g (x) dx,

sendo F uma primitiva de f .

´ ticas
Regras pra
Potˆ
encias de fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas ou hiperb´ olicas Potˆencias ´ımpares de sen x, cos x, sh x ou ch x. Destaca-se uma unidade `a potˆencia ´ımpar e o factor resultante passa-se para a co-fun¸c˜ ao atrav´es das f´ormulas fundamentais: cos2 x + sen 2 x = 1,

ch 2 x − sh 2 x = 1.

Potˆencias pares de sen x, cos x, sh x ou ch x. Passa-se para o arco duplo atrav´es das f´ormulas:
1
sen 2 x = (1 − cos 2x),
2

1 cos2 x = (1 + cos 2x),
2

1 sh 2 x = ( ch 2x − 1),
2

1 ch 2 x = ( ch 2x + 1).