primitivas

C´ alculo Diferencial e Integral I
Mestrados em Eng. Civil, Eng. Biol´ogica e Eng. Qu´ımica
Licenciaturas em Eng. do Ambiente, Eng. Geol´ogica e Mineira,
Eng. de Materiais, Qu´ımica e Eng. Territ´orio
1o Semestre de 2006/2007

Exemplos de primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais1
Exemplo 1 (ra´ızes reais simples) Considere-se a fun¸c˜ ao racional f (x) =

4x2 + x + 1
4x2 + x + 1
=
x3 − x x(x − 1)(x + 1)

A decomposi¸c˜ao em frac¸c˜oes simples, neste caso, ´e da forma (a, b, c ∈ R) f (x) =

4x2 + x + 1 a b c = +
+
x(x − 1)(x + 1) x x−1 x+1

pelo que
4x2 + x + 1 = a(x − 1)(x + 1) + bx(x + 1) + cx(x − 1) ou ainda
4x2 + x + 1 = (a + b + c)x2 + (b − c)x − a
Usando o princ´ıpio da identidade de polin´ omios,obt´em-se o sistema


a + b + c = 4 b−c=1 

−a = 1 cuja solu¸c˜ao ´e a = −1, b = 3 e c = 2. Logo
1
3
2
f (x) = − +
+
, x x−1 x+1 em cada intervalo contido no dom´ınio da fun¸c˜ ao. Em cada um desses intervalos, tem-se
P f (x) = − log |x| + 3 log |x − 1| + 2 log |x + 1| + k com k ∈ R.
1

Ver [1].

Exemplo 2 (ra´ızes reais simples e m´ ultiplas) Considere-se a fun¸c˜ ao racional
4x + 1 g(x) = x(x + 1)3
Neste caso, a decomposi¸c˜ao em frac¸c˜ oes simples ´e da forma (com a, b, c, d ∈
R)
4x + 1 b c a d
+
= +
+
3
2
x(x + 1) x x + 1 (x + 1)
(x + 1)3 pelo que
4x + 1 = (a + b)x3 + (3a + 2b + c)x2 + (3a + b + c + d)x + a

(1)

Obt´em-se assim o sistema2

a+b=0



3a + 2b + c = 0

3a + b + c + d = 4



a=1 cuja solu¸c˜ao ´e a = 1, b = c = −1 e d = 3. Logo, em cada um dos intervalos contidos no dom´ınio de g, tem-se g(x) =

1
1
1
3
−
−
+
.
2 x x + 1 (x + 1)
(x + 1)3

Assim, em qualquer daqueles intervalos
P g(x) = log |x| − log |x + 1| +

1
3
1
−
+k x + 1 2 (x + 1)2

com k ∈ R.
2

Alternativamente, a partir da equa¸c˜ao (1), obt´em-se

(i) Fazendo x = 0 vem 1 = a, i.e., a = 1.
(ii) Fazendo x = −1 vem −3 = −d, i.e., d = 3.
(iii)