PRIMEIRA PROVA DE CALCULO 3

Primeira Prova de C´lculo III - 09/09/2013 a Nome:

Escreva explicitamente a solu¸˜o de cada quest˜o. ca a

1. O volume, no primeiro octante, do s´lido limitado pelos cilindros x2 + y 2 = 1 e x2 + z 2 = 1 ´ o e

(a)

π
4

π/2

1

sen2 θ dθ

(b)

(1 − x2 )dx

(c)

0

(d)

0

π
2

π/6

cos φ sen φ dφ

(e) 0

0

Crit´rio de Corre¸˜o: e ca
1. Utilizou coordenadas cartesianas ou cil´ ındricas (3 pontos)
2. Determinou corretamente os limites de integra¸ao em z (2 pontos) c˜ 3. Determinou corretamente os limites de integra¸˜o no plano xy (ou no plano polar) (4 ca pontos)
4. Montou corretamente a integral (1 ponto)
Solu¸ao: Estamos claramente em uma situa¸˜o em que temos “tampa” e “fundo”. O fundo ´ c˜ ca e √ dado pelo plano xy, a tampa pelo cilindro z 2 + x2 = 1, do qual conclu´ ımos que z = 1 − x2 . No plano xy o dom´ ´ dado pelo disco x2 + y 2 ≤ 1. Assim, ´ natural a utiliza¸˜o de coordenadas ınio e e ca cartesianas ou cil´ ındricas. Utilizando coordenadas cartesianas, temos que calcular
√

1

√

1−x2

1−x2

1

(1 − x2 )dx.

dz dydx =
0

0

0

0

O restante do c´lculo ´ facultativo: a e
1
2

(1 − x )dx =
0

x3 x− 3

1
0

2
= .
3

Observe: a op¸˜o (d) utiliza coordenadas esf´ricas e parece pouco prov´vel; a op¸ao (e) n˜o ca e a c˜ a faz sentido: o volume seria nulo. A op¸˜o (b) tem a varia¸˜o do ˆngulo θ de 0 a π, o que n˜o ´ ca ca a a e compat´ com a situa¸ao. Resolva o problema utilizando coordenadas cil´ ıvel c˜ ındricas! 2. Seja V o s´lido limitado superiormente pelo plano z = 3 e entre os cones z = o 2 + y 2 . Ent˜o o volume de V ´ z= x a e π/4 3

cos3 φ sen φ dφ (b) 6π

(a) 18π π/6 (c) 6π

√

3

rdr
3

3(x2 + y 2 ) e

r2 dr

(d) 2π
1

(e)

3π
2

Crit´rio de Corre¸˜o: e ca
1. Utilizou coordenadas esf´ricas (2 pontos) e 2. Encontrou as express˜es dos cilindros nesse sistema de coordenadas (2