Potências e Raízes

POTÊNCIAS E RAÍZES:

Definição 1: Sejam a um número real e n um número natural. A potência na base a e expoente n é o número real na tal que:

Desta definição decorre que : a1=a0 .a = 1.a= a a2=a1.a=a.a a3=a2.a=a.a.a

De uma forma geral, para qualquer p natural e p>2, ap é o produto de p fatores iguais a “a”.
Ex: Se a, e b e m e n pertencente aos naturais, então valem as seguintes propriedades:
P1. am . an = am+n
P2.
P3. ( a.b)n = an . bn
P4.
P5. (am)n = am.n

Definição 2: Dado um número real a, não nulo e um expoente natural, define-se a potência a-n pela relação:

a-n =

Ex:a) 2-1= b)(-3)-2= c)-3-2 = -

As mesmas propriedades que valiam para n sendo naturais valem também para as potências de números inteiros.

Raiz n-ésima:

Definição: Dado um número natural a e um número natural n demonstra-se que sempre existe um número real positivo não nulo b tal que bn = a.
Ao número b chamaremos raiz enézima artimética de a e indicaremos pelo símbolo , onde a é chamado radicando e n é o índice.
Ex:

São válidas as seguintes propriedades para números racionais:
Se a
R1.
R2.
R3
R4

R5

Demonstrações:

R1.

R2

R3 ( fica como APS)

R4

R5

Potências de expoente racional:

Definição: Dados a e p e q racionais define-se potência de base a e expoente p/q pela relação:

a se a=0 e

Potencias com expoentes irracionais: O que significa a potência com um expoente irracional, como por exemplo. Para responder a esta pergunta, vamos considerar, inicialmente, as aproximações racionais de .

Assim temos por exemplo que