potencias e raizes

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2.

2.1.

POTÊNCIAS E
RAÍZES

POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS
Vimos anteriormente alguns aspectos históricos das potências e dos logaritmos,

bem como alguns processos que levaram à construção dos mesmos. Passaremos a seguir a um desenvolvimento mais formal da teoria das potências com o objetivo de termos condições de dar uma noção intuitiva do significado de uma potência de expoente irracional. Sejam

a ∈ R * , e n ∈ N * . A potência an é definida como o produto de n
+

fatores iguais ao número a, ou seja, an = a.a.a.a. ... .a n fatores

O número a é chamado de base e n expoente da potência an.
Propriedades

Sejam m, n ∈ N*, a, b ∈ R+*.
A 1) a m . a n = a m + n

(Propriedade Fundamental)

m
A2) a = a m − n se m > n n a

A3) ( a m ) n = a m .n
A 4) ( a . b ) n = a n . b n n n
A 5)  a  = a
  n  b

b

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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Intuitivamente, é fácil observar que: a n .a m = (a.a. ...a )(a.a ...a) = 1 2 3 = a n + m
a.a. 4
4 ...a
1 24 1 24
4 3 4 3 n fatores

m fatores

n + m fatores

Uma demonstração rigorosa da Propriedade Fundamental e das demais propriedades é feita utilizando o processo da indução.
O objetivo agora é estender a definição para potência com expoentes inteiros. Para tal é preciso definir a0 e a-n, onde n ∈ N .
Faremos isso de modo que a Propriedade Fundamental seja preservada, isto é, que

a 0 . a n = a 0+ n = a n

(I)

a −n . a n = a −n+n = a 0

(II)

De ( I ) observamos que é conveniente definir:

a0 = 1
De modo semelhante, admitindo que a0 = 1 em ( II ), chegamos á conclusão que a−n deve ser igual a

1 an .

Resumindo temos a seguinte
Definição

Sejam, a ∈ R *
+

 0
a = 1

e n ∈ N * . Definimos: a n = a. a n −1

1
a − n = n a 

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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Observações

1) Se n < 0, a