Polinômios

Polinômios iguais ou idênticos
Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
Exemplo:
Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c
1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c) Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
Substituindo a 1ª equação na 2ª:
1+c = -2 => c=-3.
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=4.
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4+b=1 => b=-3.
Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.
Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
Exercícios:
(FAAP–SP)
5 - Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14.

Resposta Questão 5 a(x + c)³ + b(x + d) = x³ + 6x² + 15x + 14 a(x³ + 3x²c + 3xc² + c³) + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14 ax³ + 3x²ac + 3axc² + ac³ + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14 ax³ + 3x²ac + x(3ac² + b) + (ac³ + bd) = x³ + 6x² + 15x + 14 a = 1
3ac = 6
3ac² + b = 15 ac³ + bd = 14
Dessa forma:
3ac = 6
3 * 1 * c = 6
3c = 6 c = 2
3ac² + b = 15
3 * 1 * 2² + b = 15
12 + b = 15 b = 3 ac³ + bd = 14
1 * 2³ + 3 * d = 14
8 + 3d = 14
3d = 14 – 8
3d = 6 d = 2

Os números a, b e c são respectivamente 1, 3 e 2.

Equações algébricas:
Raíz ou zero de uma equação algébrica:
Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0 . Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x) . O grau do polinômio , será também o grau da equação .
Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau .
Propriedades importantes :
P1 -