Polinômios
f ( n ) (a ) Tn ( x ) = ∑ ( x − a) n , onde f(n) indica a derivada de f de ordem n. n=0 n!
∞
Quando n = 1 temos o polinômio de Taylor de 1ª ordem, isto é, T1(x) = f(a) + f ‘(a) . (x – a)n , que é uma aproximação linear de f. O gráfico de T1(x) é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). Este é processo que as calculadoras utilizam para fazer os cálculos, afinal calculadoras efetuam as contas através de multiplicação e soma e isto é o que encontramos no polinômio de Taylor. As calculadoras para conseguir precisão de 9 casas decimais utilizam o polinômio de Taylor com muitos termos. Utilizando o polinômio de Taylor,Tn, para uma aproximação devemos ficar atentos a alguns detalhes, por exemplo se a aproximação é boa, qual o valor de n para uma boa aproximação, qual é o tamanho do erro cometido na aproximação. Vamos agora utilizando aproximação linear, isto é, o polinômio de Taylor de grau 1, dar uma aproximação para e0,05 . Tomemos a função f (x) = ex, e determinemos uma aproximação linear para ela quando x = 0. Usando o polinômio de Taylor de 1ª ordem temos: T1(x) = f (0) + f´(0) (x − 0) Calculando a derivada de f temos: f ‘(x) = e x , e daí f ‘(0) = e0 = 1 Como f (0) = 1 temos: T(x) = 1 + 1 (x − 0) = 1 + x. Logo T(0,05) = 1 + 0,05 = 1,05. Assim e0,05 = 1,05, comparando com o valor ao utilizarmos uma calculadora temos: 1,05127
Utilizando aproximação linear, isto é, o polinômio de Taylor de grau 1 dê uma aproximação para e0,05 . Tomemos a função f (x) = ex, e determinemos uma aproximação linear para ela quando x = 0. Usando o polinômio de Taylor de 1ª ordem temos: T1(x) = f (0) + f´(0) (x − 0) Calculando a derivada de f temos: f ‘(x) = ex , e daí f ‘(0) = e0 = 1 Como f (0) = 1