Polinomio

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS – CONCEITOS - GABARITO
1. Quais os valores de A e B de forma que [pic]?
Solução. Igualando os denominadores, temos:
[pic].
Repare que o denominador do 1º membro foi fatorado em x2 – x = x(x - 1). Comparando os numeradores com as respectivas partes literais, vem:
[pic] Logo A = - 1 e B = 2.

2. Dos polinômios abaixo, qual o único que pode ser identicamente nulo? a. a2 . x3 + (a – 1)x2 – (7-b)x b. (a + 1)x2 + (b2 – 1)x + (a – 1) c. (a2 + 1)x3 – (a – 1)x2 d. (a – 1)x3 – (b + 3)x2 + (a – 1) e. a2x3 - (3 + b)x2 - 5x

Solução. Um polinômio é identicamente nulo se todos os coeficientes são nulos. Vamos analisar cada item.
a) Não será identicamente nulo, pois se a = 1 e b = 7 anula-se somente os termos em x2 e x. O termo com x3 terá coeficiente a2 = (1)2.
b) Não será identicamente nulo, pois se a = 1 e b = 7 anula-se somente os termos em x2 e independente. O termo com x2 terá coeficiente (a + 1) = (1 + 1)2 = 4.
c) Não será identicamente nulo, pois, se a = 1 o termo em x3 será (a2 + 1) e não se anula.
d) Poderá ser identicamente nulo para a = 1 e b = - 3.
e) Não será identicamente nulo, pois o termo em “x” é diferente de zero e não se anula.

3. Dados os polinômios p, q e r de graus 2, 4 e 5,respectivamente,é verdade que o grau de p + q + r : a. não pode ser determinados; b. pode ser igual a 2; c. pode ser igual a 4; d. pode ser menor que 5; e. é igual a 5;

Solução. No produto e na adição de polinômios vale a relação: gr(p.q) = gr(p) + gr(q); gr(p+q) < max{gr(p),gr(q)}. Logo, o grau da soma será o maior, logo p + q + r = 5.
4. Se os polinômios x2 – x + 4 e (x – a)2 + (x + b) são idênticos, então calcule a + b.
Solução. Dois polinômios são idênticos se todos os coeficientes são ordenadamente iguais. Logo, desenvolvemos os polinômios e igualamos termo a termo.
[pic] Resposta: a + b = 1 + 3 = 4.
5. Se [pic] com x ≠ 0 e x ≠ -1, calcule o produto (A.B).
Solução.