Plano tangente vetor normal

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA – LEMA II DOCENTE – RITA DE CÁSSIA DISCENTE – DANILO CERQUEIRA

Plano Tangente e Vetor Normal

Seja X(u,v), (u,v )Є U⊂ R², uma superfície parametrizada regular. Considerando u e v como funções diferenciáveis de um parâmetro t, t Є I⊂ R, obtemos uma curva diferenciável α(t) = X(u(t), v(t)) cujo traço está na superfície descrita por X. Dizemos que α é uma curva da superfície. Definiremos um vetor tangente a superfície como sendo o vetor a uma curva da superfície. Definição 1. Se X(u, v) é uma superfície parametrizada regular, dizemos que um vetor w de R³ é um vetor tangente a X em q = (u0, vo) se w = α’(t0), onde α(t) = X(u(t), v(t)) é uma curva da superfície, tal que (u(t0), v(to)) = (u0, v0). Os vetores Xu(u0, v0) e Xv(u0, v0) são vetores tangentes a X em (u0, v0), já que são tangentes às curvas coordenadas de X . Definição 2. O plano tangente a X em (u0, v0) é o conjunto de todos os vetores tangentes a X em (u0, v0), que denotamos por TqX, onde q = (u0, v0). Observe que os conceitos de vetor tangente e plano tangente são definidos em um ponto (u0, v0) do domínio de X e não no ponto p = X(u0, v0), já que a superfície parametrizada X pode ter auto-interseção. Veremos que o plano tangente TqX é o plano de R³ gerado por Xu(q) e Xv(q). Proposição1. Seja X(u, v) uma superfície parametrizada regular e q = (u0, v0). Então TqX é o conjunto de vetores obtidos como combinação linear de Xu(u0, v0) e Xv(u0, v0). Definição 3. Se X(u, v) é uma superfície e q = (u0, v0), dizemos que um vetor de R³ é normal a X em q se é ortogonal a TqX, isto é, é ortogonal a todos os vetores tangentes a X em q. Dado um plano tangente a TqX, existe uma única direção normal a este plano e, portanto, existem exatamente dois vetores unitários normais a X em que q. Daqui por diante, vamos fixar o vetor unitário normal a X em q como sendo o vetor . Se o domínio da superfície X é um aberto U ⊂ R², então, variando (u, v) Є U, temos uma