Derivadas Parciais

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1a Parte. Derivadas Parciais.
Derivada parcial: Suponha que f(r,s,...,y,z) seja uma função de n variáveis. A derivada parcial de f em relação a sua variável t e representada por ft e é definida como sendo a função obtida derivando-se f em relação a t e considerando-se as outras variáveis como constantes.
Notação:
fx, fy, ∂f/∂fx, ∂f/∂y
À medida que damos um zoom em um ponto pertencente à uma superfície, que é o gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis, a superfície parece mais e mais com um plano (seu plano tangente) e podemos aproximar a função, nas proximidades do ponto, por uma função linear de duas variáveis.
Derivada parcial de segunda ordem: fxx, fyx, fxy, fyy; ∂2f/∂x2 etc

Parciais Prof. Alexandre Ortiz Calvão

2a Parte. Regra da cadeia e Teorema da função implícita.
Regra da cadeia para uma variável independente. Seja w=f(x,y), onde f é uma função diferenciável de x e y. Se x=g(t) e y=h(t), onde g e h são funções diferenciáveis de t, então w é uma função diferenciável de t e dw/dt = ∂w/∂x.dx/dt + ∂w/∂y.dy/dt
Regra da cadeia: duas variáveis independentes Seja w=f(x,y), onde f é uma função diferenciável de x e y. Se x=g(s,t) e y=h(s,t) são tais que as derivadas parciais de primeira ordem ∂x/∂x, ∂x/∂t,
∂y/∂s, ∂y/∂xt existem, então ∂w/∂s e ∂w/∂t também existem e são dadas por
∂w/∂s = ∂w/∂x.∂x/∂s + ∂w/∂y.∂y/∂s e ∂w/∂t = ∂w/∂x.∂x/∂t + ∂w/∂y.∂y/∂t

Derivadas parciais mistas de segunda ordem: fyx = fxy

Regra da cadeia e diagrama em árvore.
Para achar a taxa de variação de uma variável
Teorema da igualdade das derivadas com relação a outra numa cadeia de funções parciais mistas (Schwartz). Se fxy(a,b) e compostas diferenciáveis; fyx(a,b) forem contínuas em (a,b), então
a) Trace um diagrama em árvore exprimindo as fxy(a,b) = fyx(a,b) relações entre as variáveis e assinale cada ligação no diagrama