derivadas parciais

Em matemática, uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a sua derivada com respeito a uma daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes. Este conceito é útil no cálculo vectorial e geometria diferencial.

A derivada parcial de uma função em relação ao seu argumento x_i é representada \frac{\partial f(x_1, ..., x_n)}{\partial x_i}.
Suponha-se que ƒ é uma função de mais de uma variável. Para obter-se uma instância,

z = f(x,y) = \,\! x^2 + xy + y^2.\,

O gráfico desta função define uma superfície no espaço euclidiano. Para cada ponto sobre esta superfície, há um número infinito de linhas tangenciais. Diferenciação parcial é o ato de escolher uma dessas linhas e encontrar o seu declive. Normalmente, as linhas de maior interesse são aquelas que são paralelas ao plano xz, e aquelas que são paralelos ao plano yz(que resultam da exploração ou y ou x constante, respectivamente.)

Para determinar o declive da linha tangente à função de P (1, 1, 3) que é paralela ao plano xz, o y variável é tratado como constante. O gráfico e este plano são mostrados à direita. No gráfico abaixo, vemos a forma como a função se comporta y = 1.Ao encontrar a derivada da equação assumindo que y é uma constante, e o declive ƒ no ponto(x, y, z) é:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y

Então, em (1, 1, 3), por substituição, o declive é de 3. portanto

\frac{\partial z}{\partial x} = 3

no ponto. (1, 1, 3). Ou seja, a derivada parcial de z com relação a x em (1, 1, 3) é 3.

Definição de limite[editar | editar código-fonte]
A derivada parcial de uma função de n argumentos (x_1, ..., x_n) pode ser representada através de um limite como sendo

\frac{\part f}{\part x_i}(x_1,\ldots,x_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_1,\ldots,x_i+h,\ldots,x_n) - f(x_1,\ldots,x_n)}{h}.

A função f pode ser reinterpretada como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis :

Em outras palavras, a cada valor de x define uma função, denotada