operador linear

Imagem[editar | editar código-fonte]
Sejam V e W espaços vectoriais sobre um corpo K. A imagem de uma transformação linear T de V em W é o conjunto

\operatorname{Im}(T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}.
Sejam w_,w_2 dois elementos da imagem de T e sejam \alpha_1,\alpha_2\in K. Então, como w_1,w_2 estão na imagem de T, há vectores v_1,v_2\in V tais que w_1=T(v_1) e que w_2=T(v_2), pelo que

\alpha_1w_1+\alpha_2w_2=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)=T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)\in\mathop{\mathrm{Im}}(T).
Logo, \operatorname{Im}(T) é um subespaço vectorial de W.

Dimensão da imagem e do núcleo[editar | editar código-fonte]
Sejam V e W espaços vectoriais sobre um corpo K, sendo V de dimensão finita, e seja T uma transformação linear de V em W. Então

\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)).
Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja n=\dim(\ker(T)) e seja \{v_1,v_2,…,v_n\} uma base de \ker(T). Como \ker(T) é um subespaço de V, pode-se completar essa base até obtermos uma base de V. Sejam então w_1,w_2, … ,w_m ∈ V tais que \{v_1,v_2,…,v_n,w_1,w_2,…,w_m\} seja uma base de V; em particular, \dim(V)=n+m. Vai-se provar que \{T(w_1),…,T(w_m)\} é uma base de Im(T), de onde resultará que

\dim(\operatorname{Im}(T))=m=(m+n)-n=\dim(V)-\dim(\ker(V)).
Se w ∈ Im(T), então w=T(v) para algum v ∈ V e v pode ser escrito sob a forma

v=\alpha_1v_1+\cdots\alpha_nv_n+\beta_1w_1+\cdots+\beta_mw_m, pelo que

T(v)=\beta_1T(w_1)+\cdots+\beta_mT(w_m), visto que v_1,v_2, … ,v_n ∈ \ker(T). Isto prova que \{T(w_1),…,T(w_m)\} gera Im(T). Por outro lado, os vetores T(w_1),T(w_2) … T(w_m) são linearmente independentes, pois se \alpha_1,\alpha_2, … ,\alpha_m ∈ K forem tais que

\alpha_1T(w_1)+\alpha_2T(w_2)+\cdots+\alpha_mT(w_m)=0, então T\bigl(\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_mw_m\bigr)=0\Rightarrow\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_mw_m\in\ker(T), de onde resulta que \alpha_1w_1+\alpha_2w_2+ ··· +\alpha_mw_m é uma combinação linear dos vetores v_1,v_2, … ,v_n,