Autovalores E Autovetores

Universidade Estadual do Oeste do Paraná
CECE – Centro de Engenharias e Ciências Exatas
Curso: Engenharia Química
Professor: Lucas Zeni
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear

AUTOVETORES E AUTOVALORES, DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES

Acadêmica: Nathália Bianquini da Cruz

Toledo, 17 de novembro de 2014
1. INTRODUÇÃO

Seja uma transformação linear de um espaço vetorial . Deseja-se encontrar vetores que são levados em um múltiplo de si mesmo, ou seja, um vetor , além de um escalar , tal que: (1)
O presente trabalho tem como objetivo resolver o propósito dito acima, exemplificando e anunciando definições.

2. DESENVOLVIMENTO
AUTOVALORES E AUTOVETORES
No caso apresentado na introdução, será um vetor sobre a mesma reta suporte de , que pode ser entendido como um vetor de mesma “direção” que .
Se , a equação 1 é satisfeita para qualquer , então, deve-se determinar vetores que também satisfaça a equação.
O escalar é chamado autovalor de e o vetor um autovetor de .

Definição:
Seja um operador linear. Se existirem vetores não nulos pertencente a V, e pertencentes aos reais tal que , é um autovalor de e um autovetor de associado a .
Embora o vetor não possa ser nulo, pode ser o número 0. A seguir, alguns exemplos de como se calcular autovetores e autovalores seguindo a definição.

Exemplos:
1)

No caso dado, 2 é um autovalor de T e qualquer é um autovetor de associado ao autovalor 2. De modo geral, toda transformação

Tem α como autovalor e qualquer como autovetor correspondente. Percebe-se que sempre será um vetor de mesma direção que . Além disso, se:
I. inverte o sentido do vetor;
II. dilata o vetor;
III. contrai o vetor;
IV. é a identidade.

2) (reflexão no eixo-x)

Os vetores da forma são tais que

Com isso, todo vetor é autovetor de com autovetor . Os vetores são fixos por esta transformação, , ou