Autovalores e autovetores

Aluno: Davi Jaehrig
Disciplina: Álgebra Linear
Professora: Emanuela Valério Jorge

Trabalho Final
Autovalores e Autovetores

Autovalores

Definição
Seja V um espaço vetorial sobre K, e seja T um operador linear sobre V. Um vetor não nulo de V é dito um autovetor de T se existir um tal que . Neste caso, é um autovalor de T.

Representação Geométrica & cálculo

- u é autovetor de T;   R / T(u) = u.
- v não é autovetor de T pois não   R / T(v) = v.

Considere o operador linear definido no exemplo anterior:
T: R2  R2 (x, y) (4x + 5y, 2x + y) autovalores de , matriz canônica de T.
Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0:

det (A – I) = 0  (4 – ) (1 – ) – 10 = 0  2 – 5 – 6 = 0
 1 = – 1 e 2 = 6. autovetores de A ou de T:
Para cada autovalor  encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0:

Então, = (– y, y) sendo um de seus representantes o vetor v1 = (– 1, 1).

Então = (y, y) sendo um de seus representantes o vetor v2 = (, 1).
Determinar os autovalores e autovetores do operador linear:

T : 3 3, T(x,y,z) = (3x – y + z, -x + 5y + z, x – y + 3z)
Em forma matricial:

Cálculo numérico:
 = 0  -36 = 0  logo  1 > 0
 = 1  -10 = 0  logo  1 > 1
 = 2  0 = 0  logo  1 = 2
Dividindo por ( – 2):
( – 2) ( 2 - 9 + 18) = 0   2 = 6 e  3 = 3
Os autovalores são  1 = 2,  2 = 6 e  3 = 3
Para achar os autovetores basta substituir cada um dos autovalores na equação (A –  I) v = 0:

Para 1 = 2:
. Escalonando:

Logo, v1 = (x,0,-x) = x (1,0,-1)
Assim, qualquer múltiplo do vetor (1,0,-1) é um autovetor que tem como autovalor associado  1 = 2, v1 = (1,0,-1)

Para  2 = 3:

Assim, v2 = (x,x,x) = x (1,1,1). v2 = (1,1,1) ou seus múltiplos.

Para  3 = 6:

v3 = (z,-2z,z) = z (1,-2,1)

v3 = (1,-2,1) ou seus múltiplos.

Aplicação