Autvetoresavresumo

AUTOVALORES E AUTOVETORES
RESUMO

Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc.
1-DEFINIÇÃO-
Dada um transformação linear T:VV, um vetor não nulo vV é um autovetor de T se existir um real tal que T(v) = v. (O escalar é chamada autovalor de T).
Obs.:
i)Pela definição vê-se que um vetor v0 é autovetor de T se sua imagem T(v) for um múltiplo escalar de v. Dependendo do valor de , a transformação linear T, dilata v, contrai v, inverte o sentido de v ou o anula (se =0). ii)Os autovetores são também chamados vetores próprios ou vetores característicos. iii)Os autovalores são também chamados valores próprios ou valores característicos.
Exemplos:
Seja T:R2R2, T(x+4y; 2x+3y):
a)O vetor v = (1; 1) é um autovetor de T associado ao autovalor = 5 porque:
T(v) = T(1; 1) = (5; 5) = 5(1; 1).
b)Também w = (2; -1) é autovetor de T associado ao autovalor = –1 porque: T(w) = T(2, -1) = (-2; 1) = –1(2; -1)
c)Por outro lado o vetor u = (5; 2) não é autovetor de T pois; T(u) = T(5; 2) = (13; 16) (5; 2)

2-DETERMINAÇÃO DE AUTOVETORES E AUTOVALORES Dada a transformação linear T:VV, tem-se:
Pela definição de autovetor: ................................................................... T(v) = v
Sendo A a matriz (é matriz quadrada) da transformação linear T, tem-se: Av = v
Mas v = Iv (I é a matriz identidade) pode-se escrever:.............................. Av = Iv
Ou .................................... Av –Iv = 0  (A – I)v = 0 Como v0, este sistema linear homogêneo só admite solução não nula se det(A – I) = 0. As soluções desta equação são os autovalores de T, que substituídos em (A – I)v = 0 permitem obter os autovetores correspondentes de T. O determinante (A–I) é chamado polinômio característico e a equação det(A–I) = 0 é chamada equação característica de T.