Números Racionais e Irracionais

N´umeros Racionais e Irracionais
1. Quantos s˜ao os divisores de 30?
Solu¸c˜ao: Observe que 30 = 2.3.5. Ent˜ao todo divisor de 30 ´e da forma 2.3.5

com  = 0 ou 1,  = 0 ou 1, e = 0 ou 1. Isso nos d´a que o n´umero de divisores
´e 2.2.2 = 8. A lista de todos os divisores ´e 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
2. Quantos s˜ao os divisores de 16?
Solu¸c˜ao: Observe que 16 = 24 Ent˜ao todos os divisores de 16 s˜ao da forma 2 com = 0, 1, 2, 3 ou 4. Ou seja s˜ao 5 os divisores, a saber 1, 2, 4, 8 e 16.
3. Qual ´e o menor natural que tem exatamente trˆes divisores?
Solu¸c˜ao: Para que um n´umero tenha exatamente 3 divisores ele deve ser da forma p2 com p um n´umero primo. Como 2 ´e o menor n´umero primo, o menor n´umero que tem exatamente 3 divisores ´e o 4.
4. Ache todos os n´umeros primos entre 50 e 100.
Solu¸c˜ao: Para obter todos os primos entre 50 e 100 podemos utilizar o crivo de Erat´ostenes. Os pares s˜ao m´ultiplos de 2, logo n˜ao s˜ao primos. Como
51 = 3.17, ent˜ao 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96 e 99 s˜ao todos m´ultiplos de 3. 53 ´e primo. 55, 65, 75, 85, 95 s˜ao m´ultiplos de 5. 59 ´e primo.
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97 s˜ao primos tamb´em. 91 ´e m´ultiplo de 7, 91 = 7.13.
63 = 3.24.
5. Mostre que se 3 for um divisor de dois n´umeros, ele ser´a um divisor da sua soma e da sua diferen¸ca. Generalize esse fato e mostre que se d for um divisor de dois n´umeros b1 e b2, ent˜ao d ser´a um divisor de b1 + b2 e de b1 − b2.
Solu¸c˜ao: Digamos que 3 ´e um divisor de dois n´umeros a e b, ent˜ao a = 3c e b = 3d. Logo a + b = 3c + 3d = 3(c + d) a − b = 3c − 3d = 3(c − d) e portanto 3 ´e um divisor de a + b e a − b. Em geral, se um d ´e um divisor de b1 e b2 ent˜ao b1 = dc1 e b2 = dc2. Logo b1 + b2 = dc1 + dc2 = d(c1 + c2) b1 − b2 = dc1 − dc2 = d(c1 − c2) e portanto d ´e um divisor de b1 + b2 e b1 − b2.
6. −5 ´e divisor de 35?
Solu¸c˜ao: Sim, 35 = (−5).(−7).
7. 5 ´e divisor de 35?
Solu¸c˜ao: Sim, 35 = 5.7.