Logica e teoria dos conjuntos

REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE NÚMEROS
O conjunto de todas as frações a/b, com a,b Z e b≠0, compõe o conjunto dos números racionais que, em reunião com o conjunto dos irracionais, formam os reais.
Toda fração ordinária tem sua representação decimal obtida por meio do algoritmo da divisão prolongada, no qual, acrescentaram-se sucessivos zeros para continuar o processo de divisão, por exemplo:

7,00 |__3__
-6 2,33 10 → acrescenta-se um zero ao resto e continua-se a divisão -9 10 → acrescenta-se mais um zero -9 1

Percebe-se que sempre sobra resto 1 que, com acréscimo do zero, fica 10, que dividido por 3, dará 3 e restará novamente o 1, portanto a fração decimal resultante será a dízima periódica 2,333..., 2,3 ou 2,3.
Qualquer número racional tem representação decimal, podendo ser ou finita ou infinita.
Mas um fato muito curioso e interessante é que todos os números racionais podem ser representados por uma dízima periódica (infinita), mesmo aqueles que resultam em uma decimal exata. Vejamos o seguinte exemplo sugerido por NÍVEN (1984) que ilustra bem este fato (novamente utiliza-se do algoritmo das divisões prolongadas acrescentando-se zeros ao resto).

2,000000 |__ 7____
-14 0,285714 60 -56 40 -35 50 -49 10 -7 30 -28 2

No decorrer da divisão os restos são, sucessivamente, 6, 4, 5, 1, 3, 2.
Ao se chegar ao resto 2, completa-se um ciclo e reaparece a divisão de 20 por 7, gerando novamente o bloco periódico de dígitos 2856714. Os restos são todos menores que o divisor, portanto, haverá necessariamente, uma repetição, dado que existem apenas seis restos possíveis (se o resto zero aparecer, a decimal é exata, mas também terá uma representação infinita e periódica como se descreve a seguir). Tem-se 2/7 = 0,28567142856714... .
No decorrer da divisão os restos são, sucessivamente, 6, 4, 5, 1, 3, 2.
Ao se chegar ao