Matrizes

Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.

Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:

q( x , y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2 = x y . a b . x b c y

O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.

Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das