Matrizes

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆncias Exatas e Departamento de Matem´tica a

´ Geometria Anal´ ıtica e Algebra Linear – GAAL MATRIZES – Lista de Exerc´ ıcios 1

1. Sejam A= Encontre: a) A + B e) DA 1 2 3 2 1 −1 , B= −2 3 0 0 1 1  −1 , C= 2  4  e D= 2 −1 .

b) AC f ) DB

c) BC g) −A

d) CD h) −D.

2. Qual ´ o valor de c23 na multiplica¸˜o das matrizes abaixo? e ca    c11 1 −2  5 −2  −5 1 5 −4  c21   =  −4  c31 4  −2 5 2 2 −1 2 c41

c12 c22 c32 c42

c13 c23 c33 c43

 c14 c24  . c34  c44

3. Considere a multiplica¸˜o de matrizes 3 × 3 abaixo, em que os pontos ca coeficientes desconhecidos:     c11 c12 −5 −9 ? 9 −8 4  ? −7 2   ? 5 ?  =  c21 c22 4 −8 −7 c31 c32 ? −4 ?

de interroga¸˜o representam ca  c13 c23  . c33

S´ ´ poss´ determinar um coeficiente da matriz produto. Qual ´ ele e qual ´ o seu valor? oe ıvel e e 4. Ache x, y, z, w tais que x y z w Mostre que n˜o existem x, y, z, w tais que a x y z w Existem x, y, z, w tais que x y z w 5. Se A= 1 1 1 1 = 1 0 0 1 ? 1 0 0 0 = 1 0 0 1 . 2 3 3 4 = 1 0 0 1 .

3 −2 −4 3

,

encontre uma matriz B tal que B 2 = A (B ´ uma “raiz quadrada” de A). Encontre todas as solu¸˜es e co da equa¸˜o matricial X 2 = A. ca

6. A equa¸˜o x2 = 1 possui apenas duas solu¸˜es reais: x = 1 e x = −1. Acha todas as matrizes 2 × 2 ca co que s˜o solu¸˜es da equa¸˜o matricial X 2 = I, onde I ´ a matriz identidade 2 × 2. a co ca e 7. Os unicos n´meros reais cujos quadrados s˜o eles pr´prios s˜o 0 e 1. Ache todas as matrizes quadradas ´ u a o a A, 2 × 2, tais que A2 = A. 8. Seja A= 2 x2 2x − 1 0 .

Qual ´ o valor de x para que tenhamos At = A? e 9. Dadas    1 −3 2 1 4 1 0 1 −3  , B =  2 1 1 1  A= 2 4 −3 −1 1 −2 1 2 mostre que AB = AC. 10. Considere as matrizes     2 −3 −5 −1 3 5 4 5  , B =  1 −3 −5  A =  −1 1 −3 −4 −1 3 5  2 −2 −4 3 4 . C =  −1 1 −2 −3   e  2 1 −1 −2 C =  3 −2 −1 −1  , 2 −5 −1 0 

e

(a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA =