Matrizes

MATRIZES
Chama-se matriz de ordem (ou tipo ou tamanho) m × n, com m, n ∈ N ∗ , toda tabela constitu´ por m × n ıda 1 0
6
elementos, dispostos em m linhas e n colunas. Por exemplo, A = 3 2 −1 ´ uma matriz 2 × 3. Cada elemento de e uma matriz ´ indicado por aij onde i ´ a linha a que ele pertence e j, a coluna. e e
Exemplo: se A ´ uma matriz 2 × 3, teremos A = e 
 matriz matriz Classifica¸˜o: ca  matriz matriz a11 a21 a12 a22 a13 a23 ou A = [aij ]2×3 .

quadrada: m = n (matriz de ordem n) retangular: m = n linha: m = 1 coluna: n = 1

Duas matrizes A e B s˜o iguais se, e somente se, s˜o de mesma ordem e se aij = bij (∀i, j). a a
Exemplo:

a
4

b
5

=

8
4

9
5

se, e somente se, a = 8 e b = 9.

e
A matriz oposta de A, indicada por (−A), ´ obtida trocando-se cada elemento de A pelo seu oposto.
Exemplo: se A =

3
2 1 a −1 −2 4 , ent˜o (−A) =

−3
1

−2
2

−1
−4

.

A transposta de uma matriz A, indicada por AT , ´ obtida trocando-se ordenadamente as linhas por colunas. e Exemplo: se A =

3
2 1 e T
−1 −2 4 , a sua transposta ´ A =

3 −1
2 −2
1
4

.

Matrizes especiais:
1) Matriz nula (ou zero): todos os elementos s˜o nulos. Ex: 02×3 = a 0
0

0
0

0
0

.

2) Matriz identidade (ou unidade) In : 1 na diagonal principal e 0 nas outras posi¸˜es. Ex: I2 = co 3) Matriz diagonal: zeros fora da diagonal principal. Ex:
2 4 8
0 5 1
0 0 6

4) Matriz triangular: Ex:

1
5
3
 5
5) Matriz sim´trica: Ex: e 9
8
0 −1


0
1

.

2 0 0
0 5 0
0 0 6

(triangular superior) ou


9
0
8 −1 
7
6
6
4

1
0

2 0 0
9 5 0
−1 0 7

(triangular inferior)

AT = A

OPERACOES COM MATRIZES
¸˜
1) ADICAO E SUBTRACAO: Se A = [aij ]n×m e B = [bij ]n×m ent˜o A ± B = C = [cij ]n×m tal que
¸˜
¸˜ a cij = aij ± bij .
Exemplo: Se A =
A+B =

3 7
−2 5

3+1 7−3
−2 + 0 5 + 2

eB=
=

1 −3
0
2

4 4
−2 7

ent˜o a e

A−B =

3−1