Matrizes

7. MATRIZES
7.1. DEFINIÇÃO
Matrizes são arranjos bidimensionais de números. Têm aplicações, por exemplo, na resolução de sistemas de equações lineares e no armazenamento de dados.
Definição: Uma matriz m x n, com m e n inteiros positivos, é a tabela retangular de m linhas e n colunas, conforme a notação
[a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 ⋯ amn] em que aij é a notação de duplo índice para os elementos da matriz, sendo i o índice da linha e j o índice da coluna. A notação compacta [aij] pode ser empregada para representar toda a matriz acima. Também chamamos “m x n” de ordem da matriz.
Exemplos:
a) matriz de ordem 3 x 2 (isto é, com 3 linhas e 2 colunas)
[ 1 −3
0,2 4
0 17 ]
b) matriz de ordem 2 x 4 (com 2 linhas e 4 colunas)
[1/23 2 −5 1
2 −7 8 13]
c) matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
[−1 7 0,5]
Matrizes com apenas uma linha são chamadas matrizes linha.
d) matriz de ordem 4 x 1 (4 linhas e 1 coluna)
[10
−7
31 ]
Matrizes com apenas uma coluna são chamadas matrizes coluna.
e) matriz de ordem 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas)
[7 0
2 4]
Matrizes em que o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) são chamadas matrizes quadradas.
7.2. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE MATRIZES
a) Adição e subtração
Se A = [aij] e B = [bij] são matrizes m x n, então A + B = [aij + bij] e A – B = [aij – bij], ambas também matrizes m x n. Note que matrizes de ordens diferentes não podem ser somadas ou subtraídas.
Exemplo:
Se A = [ 1 −3
−5 7 ] e B = [−1 −8
2 9 ] , então
A + B = [ 1 −3
−5 7 ][−1 −8
2 9 ]= [1−1 −3−8
−52 79 ]= [ 0 −11
−3 16 ] e
A – B = [ 1 −3
−5 7 ]−[−1 −8
2 9 ]= [1−−1 −3−−8
−5−2 7−9 ]= [ 2 5
−7 −2]
b) Produto de matriz por escalar
Se A = [aij] é uma matriz m x n e k é um escalar (isto é, um número real) então kA = [kaij], de ordem m x n.
Exemplo:
Se k = ½ e A = [−1 −8
2 9 ] , então kA = 12
[−1 −8
2 9 ]=[−12
−4
1 92
]
c) Produto de matrizes
Se A = [aij] é